Plus lourd au démarrage : le pèse-personne de l'ascenseur

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton

Énoncé

Chaque matin, Léa monte au $1 2^{e}$ étage de son immeuble. Par jeu, elle a posé un pèse-personne dans l'ascenseur et s'est pesée pendant le trajet. Au démarrage vers le haut, l'aiguille indique nettement plus que les $60 kg$ habituels, puis revient à $60 kg$ en pleine montée. Que mesure réellement le pèse-personne ?

Sur quoi le pèse-personne se base-t-il pour afficher un « poids » ? Quelle force mesure-t-il en réalité ?

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à Léa (masse $m$ ) dans le référentiel terrestre, exprimer la force $N$ exercée par le plateau sur ses pieds en fonction de $m$ , $g$ et de l'accélération $a$ de l'ascenseur (orientée vers le haut).

Application : au démarrage vers le haut, $a = 1, 5 m / s^{2}$ . Quelle masse $m^{'}$ le pèse-personne affiche-t-il (il convertit $N$ en divisant par $g = 9, 81 m / s^{2}$ ) ?

Que se passe-t-il en phase de montée à vitesse constante, puis au freinage avant l'arrêt ? Léa peut-elle « tricher » durablement sur sa masse ?

Corrigé

1. Un pèse-personne mesure la force de contact (la réaction normale $N$ ) que le plateau exerce sur les pieds ; par le principe des actions réciproques, c'est l'opposée de la force que les pieds exercent sur lui. Il n'affiche donc pas directement le poids, mais traduit $N$ en « masse » en divisant par $g$ .

2. Léa subit son poids $P = m g$ (vers le bas) et la réaction $N$ (vers le haut). En projetant le PFD sur un axe vertical ascendant, avec une accélération $a$ de l'ascenseur orientée vers le haut : $N - m g = m a ⟹ N = m (g + a) .$

3. L'appareil affiche $m^{'} = N / g = m (g + a) / g = m (1 + a / g)$ . Numériquement : $m^{'} = 60 \times (1 + \frac{1 , 5}{9 , 81}) \approx 60 \times 1, 15 \approx 69 kg .$ Soit environ $9 kg$ « en trop ».

4. En montée à vitesse constante, $a = 0$ donc $N = m g$ : l'appareil affiche les vrais $60 kg$ . Au freinage avant l'arrêt, l'accélération est dirigée vers le bas ( $a < 0$ ), donc $N = m (g + a) < m g$ : Léa se sent momentanément plus légère et l'aiguille descend sous $60 kg$ . La « tricherie » ne dure que pendant les phases d'accélération : impossible de durablement gagner ou perdre du poids.

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