Pourquoi la souris survit

Un corps de masse $m$ tombe verticalement dans l'air, lâché sans vitesse ; on oriente l'axe $Oz$ vers le bas. L'air exerce sur lui une force de frottement opposée à la vitesse, de norme $f=k{v}^2$ avec $k=\frac{1}{2}\rho C_{x}S$, où $\rho =1,2\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$ est la masse volumique de l'air, $S$ l'aire de la section du corps perpendiculaire au mouvement et $C_x$ un coefficient sans dimension, qu'on prendra égal à $1$ pour tous les corps de l'exercice (ordre de grandeur). On néglige la poussée d'Archimède de l'air. $g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

a) Vérifier que $k$ a la dimension d'une masse divisée par une longueur. Écrire l'équation différentielle vérifiée par $v(t)$.

b) Sans résoudre : établir la vitesse limite $v_{\ell }$. Construire, avec $v_{\ell }$ et $g$, un temps caractéristique $\tau$ et une longueur caractéristique $D$. Écrire l'équation adimensionnée en posant $u=v/v_{\ell }$ et $x=t/\tau$.

c) Calculer $v_{\ell }$, $\tau$ et $D$ pour un homme ($80$ kg, $S=0,70{\mathrm{m}}^2$, à plat ventre), une souris ($20$ g, $S=3\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$) et une fourmi ($5$ mg, $S=1\times 10^{-5}{\mathrm{m}}^2$). Commenter.

d) On modélise des animaux de formes semblables, de taille caractéristique $L$ et de même masse volumique. Montrer que $v_{\ell }\propto \sqrt{L}$. Expliquer pourquoi une souris tombée au fond d'un puits de mine s'en relève, alors qu'un homme ne survit pas.

e) Un parachutiste en chute libre a une vitesse limite de l'ordre de $56\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Que devient-elle si l'ouverture du parachute multiplie $k$ par $25$ ?