Pourquoi les astronautes flottent

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton · C. Forces usuelles

Énoncé

On assimile la Terre à une sphère homogène de rayon $R_{T} = 6371$ km, à symétrie sphérique ; elle exerce sur un point de masse $m$ situé à la distance $r \geq R_{T}$ de son centre la force de gravitation de norme $G M_{T} m / r^{2}$ , dirigée vers le centre. On donne $g_{0} = 9, 81 m s^{- 2}$ au niveau du sol (on néglige la rotation de la Terre) et $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11} N m^{2} k g^{- 2}$ .

a) Exprimer la norme $g (h)$ du champ de gravitation à l'altitude $h$ en fonction de $g_{0}$ , $R_{T}$ et $h$ . En déduire la masse de la Terre.

b) Montrer que, pour $h ≪ R_{T}$ , $\frac{g _{0} - g ( h )}{g _{0}} \approx \frac{2 h}{R _{T}}$ . Calculer cette variation au sommet de l'Everest ( $h = 8849$ m). Que penser du modèle du champ de pesanteur uniforme ?

c) La Station spatiale internationale (ISS) orbite à $h = 400$ km. Calculer $g (h)$ et le comparer à $g_{0}$ . Un astronaute y est-il « hors de la gravité » ?

d) On admet que l'orbite de l'ISS est un cercle parcouru à vitesse constante, dans le référentiel géocentrique supposé galiléen. Par la deuxième loi, déterminer sa vitesse $v$ et sa période $T$ .

e) Un astronaute se tient sur un pèse-personne fixé au plancher de l'ISS. Écrire la deuxième loi pour l'astronaute seul et en déduire la force exercée par le plateau. Expliquer le mot « impesanteur » et comparer à la situation du passager d'un ascenseur dont le câble a cédé.

Corrigé

a) Le champ en altitude. La force sur la masse $m$ à la distance $r = R_{T} + h$ vaut $m g (h)$ avec $g (h) = \frac{G M _{T}}{( R _{T} + h ) ^{2}}$ . Au sol, $g_{0} = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}}$ . Le rapport élimine $G M_{T}$ : $g (h) = g_{0} (\frac{R _{T}}{R _{T} + h})^{2} .$ Et $M_{T} = \frac{g _{0} R _{T}^{2}}{G} = \frac{9 , 81 \times ( 6 , 371 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11}} \approx 5, 97 \times 1 0^{24}$ kg.

b) Le modèle uniforme. On écrit $g (h) = g_{0} (1 + h / R_{T})^{- 2}$ et l'on utilise, pour $ε = h / R_{T} ≪ 1$ , l'approximation $(1 + ε)^{- 2} \approx 1 - 2 ε$ (développement au premier ordre). Donc $\frac{g _{0} - g ( h )}{g _{0}} \approx \frac{2 h}{R _{T}} .$ À l'Everest : $\frac{2 \times 8 849}{6 371 \times 1 0 ^{3}} \approx 2, 8 \times 1 0^{- 3}$ , soit $g \approx 9, 78 m s^{- 2}$ . Sur toute l'épaisseur où vivent les hommes, le champ varie de moins de trois pour mille : le modèle du champ uniforme est excellent pour tout mouvement dont l'extension verticale est petite devant le rayon terrestre — une chute, un tir, un vol d'avion. Il cesse de l'être quand $h$ devient une fraction notable de $R_{T}$ .

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