Pourquoi rouler moins vite : la distance de freinage

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton

Énoncé

Sur l'autoroute, un panneau rappelle : « Vitesse $\times 2$ , distance de freinage $\times 4$ ». Un automobiliste roulant à $50 km / h$ en ville freine d'urgence, roues bloquées, devant un piéton. Le frottement solide pneu/route est le seul frein efficace une fois les roues bloquées. Voyons ce que disent les lois de Newton.

Une fois les roues bloquées, quelle force ralentit la voiture ? De quoi dépend-elle, et de quoi ne dépend-elle (presque) pas ?

Avec un coefficient de frottement $μ$ , montrer que la décélération vaut $a = μg$ , indépendante de la masse du véhicule. Pourquoi est-ce remarquable ?

Exprimer la distance de freinage $d$ en fonction de la vitesse initiale $v_{0}$ , de $μ$ et de $g$ . Justifier la règle « vitesse $\times 2 \Rightarrow$ distance $\times 4$ ».

Application : route sèche $μ = 0, 80$ . Calculer $d$ pour $v_{0} = 50 km / h$ , puis pour $v_{0} = 100 km / h$ .

Sous la pluie, $μ$ tombe à $0, 40$ . Que devient $d$ à $50 km / h$ ? Conclusion pour la sécurité.

Corrigé

1. Roues bloquées, c'est la force de frottement solide $f$ entre les pneus et la route qui ralentit la voiture, opposée au mouvement. Sa norme $f = μ N$ dépend du couple pneu/route (via $μ$ ) et de la charge $N$ , mais pas de la surface de contact ni (à vitesse de freinage) de la vitesse.

2. Sur la verticale, la voiture ne décolle pas : $N = m g$ . Sur l'horizontale, seule $f$ agit, le PFD donne : $m a = - f = - μ N = - μ m g ⟹ a = - μg .$ La masse se simplifie : un camion et une citadine, mêmes pneus et même route, ont la même décélération. La masse n'aide pas à freiner plus court.

3. Mouvement uniformément décéléré jusqu'à l'arrêt ( $v = 0$ ). Avec $v^{2} = v_{0}^{2} - 2 μg d$ : $d = \frac{v _{0}^{2}}{2 μg} .$ Comme $d \propto v_{0}^{2}$ , doubler $v_{0}$ multiplie $d$ par $2^{2} = 4$ : c'est exactement la règle du panneau.

4. Route sèche, $μ = 0, 80$ , $g = 9, 81 m / s^{2}$ . À $v_{0} = 50 km / h = 13, 9 m / s$ : $d = \frac{13 , 9 ^{2}}{2 \times 0 , 80 \times 9 , 81} \approx 12 m .$ À $v_{0} = 100 km / h = 27, 8 m / s$ : $d \approx 49 m$ , soit bien $\approx 4 \times 12 m$ .

5. Sous la pluie, $μ = 0, 40$ : $d$ double (car $d \propto 1/ μ$ ). À $50 km / h$ : $d = \frac{13 , 9 ^{2}}{2 \times 0 , 40 \times 9 , 81} \approx 25 m .$

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.