Problème : loi de Stokes et viscosimètre à chute de bille

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 2 — Dynamique du point : les lois de Newton · C. Forces usuelles

Énoncé

Une bille sphérique de rayon $R$ et de masse volumique $ρ_{s}$ est lâchée sans vitesse dans un fluide de masse volumique $ρ_{f} < ρ_{s}$ et de viscosité dynamique $η$ (en $Pa s$ ). Le référentiel du laboratoire est galiléen ; on oriente l'axe $O z$ vers le bas. On admet que le fluide exerce sur la bille deux forces :

la poussée d'Archimède, verticale vers le haut, de norme $ρ_{f} V g$ , où $V = \frac{4}{3} π R^{3}$ est le volume de la bille (c'est le poids du fluide déplacé) ;
tant que le nombre de Reynolds $R e = \frac{ρ _{f} v ( 2 R )}{η}$ reste petit devant $1$ , la force de frottement de Stokes $f = - 6 π η R v$ , linéaire en la vitesse. (Le nombre de Reynolds, sans dimension, compare les effets de l'inertie du fluide à ceux de sa viscosité ; pour $R e ≪ 1$ l'écoulement autour de la bille est dominé par la viscosité.)

Données : $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

1) Faire le bilan des forces sur un schéma et montrer que la vitesse $v (t)$ de la bille vérifie $\frac{d v}{d t} + \frac{v}{τ} = (1 - \frac{ρ _{f}}{ρ _{s}}) g, τ = \frac{2 ρ _{s} R ^{2}}{9 η} .$ Vérifier l'homogénéité de $τ$ .

2) Sans résoudre l'équation : établir l'expression de la vitesse limite $v_{ℓ} = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g R ^{2}}{9 η}$ , écrire l'équation adimensionnée en posant $u = v / v_{ℓ}$ et $x = t / τ$ , et estimer l'ordre de grandeur de la distance parcourue pendant le régime transitoire.

3) Le viscosimètre. Une bille d'acier ( $R = 1, 0$ mm, $ρ_{s} = 7, 8 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ ) tombe dans de la glycérine ( $ρ_{f} = 1, 26 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ ) ; on chronomètre $19, 8$ s pour parcourir $20, 0$ cm entre deux repères placés à quelques centimètres sous la surface. En déduire $η$ . Calculer $τ$ et justifier le placement du premier repère.

4) Calculer le nombre de Reynolds de la question 3. Le modèle de Stokes était-il légitime ?

5) Échec du modèle. On lâche la même bille dans l'eau ( $ρ_{f} = 1, 0 \times 1 0^{3} kg m^{- 3}$ , $η = 1, 0 \times 1 0^{- 3}$ Pa s). Quelle vitesse limite le modèle de Stokes prédit-il ? Calculer le nombre de Reynolds correspondant et conclure. On adopte alors le frottement quadratique de norme $f = \frac{1}{2} ρ_{f} C_{x} π R^{2} v^{2}$ avec $C_{x} = 0, 45$ (valable pour $1 0^{3} ≲ R e ≲ 1 0^{5}$ ) : calculer la nouvelle vitesse limite et vérifier la cohérence du nouveau $R e$ .

6) Le brouillard. Une gouttelette d'eau de rayon $R = 10 μ m$ tombe dans l'air ( $η_{air} = 1, 8 \times 1 0^{- 5}$ Pa s, $ρ_{air} = 1, 2 kg m^{- 3}$ ). Calculer $v_{ℓ}$ , $τ$ et $R e$ . Pourquoi un brouillard semble-t-il ne pas tomber ? Énoncer le résultat établi par le problème.

Corrigé

1) Le bilan et l'équation. Système : la bille, de masse $m = ρ_{s} V$ . Trois forces, toutes verticales :

le poids, vers le bas, de norme $ρ_{s} V g$ ;
la poussée d'Archimède, vers le haut, de norme $ρ_{f} V g$ ;
la force de Stokes, opposée à la vitesse ; la bille descendant ( $v > 0$ sur l'axe vers le bas), elle est dirigée vers le haut, de norme $6 π η R v$ .

La deuxième loi projetée sur $O z$ : $ρ_{s} V \frac{d v}{d t} = (ρ_{s} - ρ_{f}) V g - 6 π η R v .$ On divise par $ρ_{s} V = ρ_{s} \cdot \frac{4}{3} π R^{3}$ . Le coefficient de $v$ devient $\frac{6 π η R}{\frac{4}{3} π R ^{3} ρ _{s}} = \frac{9 η}{2 ρ _{s} R ^{2}} = \frac{1}{τ}, d’o u ˋ \frac{d v}{d t} + \frac{v}{τ} = (1 - \frac{ρ _{f}}{ρ _{s}}) g .$ Homogénéité. Une viscosité en $Pa s$ s'exprime en $kg m^{- 1} s^{- 1}$ (un pascal est un $N m^{- 2} = kg m^{- 1} s^{- 2}$ ). Alors $\frac{ρ _{s} R ^{2}}{η}$ est en $\frac{kg m ^{- 3} m ^{2}}{kg m ^{- 1} s ^{- 1}} = s$ : $τ$ est bien un temps.

Remarque. Le facteur $1 - ρ_{f} / ρ_{s}$ vaut $0, 84$ pour l'acier dans la glycérine : la poussée d'Archimède n'est pas négligeable.

2) Vitesse limite, échelles, adimensionnement. En régime permanent, $d v / d t = 0$ : $v_{ℓ} = τ (1 - \frac{ρ _{f}}{ρ _{s}}) g = \frac{2 ρ _{s} R ^{2}}{9 η} \cdot \frac{ρ _{s} - ρ _{f}}{ρ _{s}} g = \frac{2 ( ρ _{s} - ρ _{f} ) g R ^{2}}{9 η} .$ Elle croît comme $R^{2}$ : une bille deux fois plus grosse tombe quatre fois plus vite. On pose $v = v_{ℓ} u$ et $t = τ x$ ; l'équation devient, après division par $v_{ℓ} / τ$ (en remarquant que $(1 - \frac{ρ _{f}}{ρ _{s}}) g = v_{ℓ} / τ$ ), $\frac{d u}{d x} + u = 1,$ la forme universelle du cours. Le régime transitoire dure quelques $τ$ : au bout de $x = 5$ , l'écart relatif à la vitesse limite, qui décroît comme $e^{- x}$ , vaut $e^{- 5} < 1 %$ . Pendant ce temps la bille parcourt une distance inférieure à $5 τ v_{ℓ}$ (sa vitesse reste inférieure à $v_{ℓ}$ ) : la longueur caractéristique du transitoire est $τ v_{ℓ}$ .

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