Comprimer le Soleil en trou noir : le rayon de Schwarzschild

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énoncé

Un astre devient un trou noir lorsqu'il est si compact que même la lumière ne peut s'en échapper : sa vitesse de libération atteint $c$ . Imaginons que l'on comprime le Soleil jusqu'à cette limite.

Rappeler $v_{lib}$ d'un astre de masse $M$ et rayon $R$ (conservation de l'énergie mécanique).

Écrire la condition $v_{lib} = c$ et en déduire $R_{S} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ .

Calculer $R_{S}$ pour $M_{S} = 2, 0 \times 1 0^{30} kg$ ( $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ , $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m / s$ ).

Comparer à $R_{⊙} \approx 7, 0 \times 1 0^{8} m$ . Par quel facteur comprimer le Soleil ? Commenter.

Corrigé

1. Pour atteindre l'infini avec une vitesse nulle, l'énergie mécanique est nulle : $\frac{1}{2} m v_{lib}^{2} - \frac{GM m}{R} = 0$ , d'où $v_{lib} = \frac{2 GM}{R}$ .

2. $v_{lib} = c$ donne $\frac{2 GM}{R _{S}} = c^{2}$ , soit $R_{S} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$ .

3. $R_{S} = \frac{2 \times 6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 2 , 0 \times 1 0 ^{30}}{( 3 , 0 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} \approx 3, 0 \times 1 0^{3} m$ ( $\approx 3 km$ ).

4. $\frac{R _{⊙}}{R _{S}} = \frac{7 , 0 \times 1 0 ^{8}}{3 , 0 \times 1 0 ^{3}} \approx 2, 3 \times 1 0^{5}$ : il faudrait comprimer le Soleil d'un facteur $\sim 2 \times 1 0^{5}$ en rayon. Toute sa masse tiendrait dans une sphère de quelques km. Heureusement le Soleil n'est pas assez massif pour s'effondrer ainsi.

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