La comète de Halley, des constantes du mouvement au demi-grand axe

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · C. Le champ newtonien

Énoncé

Un point matériel de masse $m$ est soumis à l'attraction newtonienne $F = - \frac{k}{r ^{2}} u_{r}$ , $k = G m M_{S} > 0$ , d'énergie potentielle $E_{p} = - k / r$ . On note $C$ la constante des aires et $E_{m}$ l'énergie mécanique.

Écrire $E_{p}^{eff} (r)$ et en tracer l'allure ; préciser son minimum. Montrer que le mouvement radial est borné si et seulement si $E_{m} < 0$ .

Dans ce cas, montrer que la distance minimale $r_{p}$ et la distance maximale $r_{a}$ sont les deux racines d'une équation du second degré, et en déduire, par les seules constantes du mouvement, $r_{p} + r_{a} = - \frac{k}{E _{m}}, donc E_{m} = - \frac{k}{2 a} avec a = \frac{r _{p} + r _{a}}{2} .$

En déduire, en tout point de la trajectoire, $v^{2} = G M_{S} (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ .

La comète de Halley a une période $T = 75, 3$ ans et passe au périhélie à $r_{p} = 0, 586$ ua du Soleil. On donne $G M_{S} = 1, 327 \times 1 0^{20} m^{3} s^{- 2}$ et $1 ua = 1, 496 \times 1 0^{11} m$ . Par la troisième loi de Kepler (admise pour l'ellipse), calculer $a$ , puis $r_{a}$ et $e = \frac{r _{a} - r _{p}}{r _{a} + r _{p}}$ .

Calculer $v_{p}$ au périhélie, puis $v_{a}$ à l'aphélie de deux façons : par la constante des aires et par la question 3). Commenter le rapport $v_{p} / v_{a}$ .

Corrigé

La stratégie. Le programme demande l'énergie d'une ellipse en fonction du demi-grand axe sans géométrie, par les constantes du mouvement. Aux deux apsides, $r ˙ = 0$ : l'énergie n'y dépend que de $r$ , d'où une équation dont $r_{p}$ et $r_{a}$ sont les racines ; les relations entre coefficients et racines font le reste.

1) L'énergie potentielle effective. Avec $r^{2} θ ˙ = C$ , $E_{m} = \frac{1}{2} m r ˙^{2} + E_{p}^{eff} (r)$ et $E_{p}^{eff} (r) = \frac{m C ^{2}}{2 r ^{2}} - \frac{k}{r} .$ Pour $C \neq = 0$ : elle tend vers $+ \infty$ quand $r \to 0$ (la barrière centrifuge l'emporte), vers $0$ par valeurs négatives quand $r \to + \infty$ (le terme en $- k / r$ l'emporte). Sa dérivée $- \frac{m C ^{2}}{r ^{3}} + \frac{k}{r ^{2}}$ s'annule en $r_{c} = \frac{m C ^{2}}{k}$ : c'est un minimum, de valeur $- \frac{k ^{2}}{2 m C ^{2}} < 0$ , et c'est l'orbite circulaire. Le mouvement est possible là où $E_{p}^{eff} (r) \leq E_{m}$ . Si $E_{m} \geq 0$ , cette région s'étend jusqu'à l'infini (la fonction reste négative pour $r$ grand) : diffusion. Si $E_{m} < 0$ (et au-dessus du minimum), elle est un intervalle borné $[r_{p}, r_{a}]$ : état lié.

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