La comète de Halley : un visiteur tous les 76 ans

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énoncé

La comète de Halley revient près du Soleil environ tous les 76 ans. Son orbite est une ellipse très allongée : au périhélie elle frôle le Soleil (à $0, 59$ ua), à l'aphélie elle s'aventure au-delà de Neptune. On rappelle la vis-viva $v^{2} = G M_{S} (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ , et $1$ ua $= 1, 5 \times 1 0^{11} m$ .

Convertir la période en secondes. Par la 3ᵉ loi de Kepler, exprimer puis calculer le demi-grand axe $a$ (en mètres puis en ua).

La distance au périhélie est $r_{p} = 0, 59$ ua. En déduire $r_{a}$ et commenter l'allongement.

Par la vis-viva, calculer la vitesse $v_{p}$ au périhélie.

Calculer $v_{a}$ à l'aphélie et vérifier la cohérence avec la loi des aires.

Corrigé

1. $T = 76 \times 365, 25 \times 24 \times 3600 \approx 2, 4 \times 1 0^{9} s$ . Kepler : $a = (\frac{G M _{S} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$ . Avec $G M_{S} = 1, 33 \times 1 0^{20}$ et $T^{2} = 5, 8 \times 1 0^{18}$ : $a \approx 2, 7 \times 1 0^{12} m = \frac{2 , 7 \times 1 0 ^{12}}{1 , 5 \times 1 0 ^{11}} \approx 18 ua$ .

2. Pour une ellipse, $r_{p} + r_{a} = 2 a$ , donc $r_{a} = 2 a - r_{p} = 2 \times 18 - 0, 59 \approx 35 ua$ ( $\approx 5, 3 \times 1 0^{12} m$ ). L'orbite est très allongée (excentricité $e = \frac{r _{a} - r _{p}}{2 a} \approx 0, 97$ ).

3. Au périhélie, $r_{p} = 0, 59 \times 1, 5 \times 1 0^{11} = 8, 85 \times 1 0^{10} m$ . $v_{p}^{2} = G M_{S} (\frac{2}{r _{p}} - \frac{1}{a}) \approx 1, 33 \times 1 0^{20} \times 2, 22 \times 1 0^{- 11} = 2, 95 \times 1 0^{9}$ , d'où $v_{p} \approx 54 km / s$ .

4. À l'aphélie, $r_{a} = 5, 3 \times 1 0^{12} m$ : $v_{a}^{2} = G M_{S} (\frac{2}{r _{a}} - \frac{1}{a}) \approx 1, 33 \times 1 0^{20} \times 7 \times 1 0^{- 15} \approx 9, 3 \times 1 0^{5}$ , d'où $v_{a} \approx 0, 96 km / s$ . On a $v_{p} ≫ v_{a}$ (rapport $\approx 60$ ) : la comète file près du Soleil et rampe à l'aphélie — c'est la loi des aires.

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