La constellation GPS : pourquoi une trentaine de satellites ?

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énoncé

Le GPS repose sur une trentaine de satellites en orbite circulaire à environ $20200 km$ d'altitude. Pour calculer sa position, un récepteur doit « voir » au moins quatre satellites au-dessus de l'horizon.

Calculer le rayon orbital $r$ , puis la vitesse $v$ .

En déduire la période $T$ . Vérifier qu'elle vaut environ $12 h$ .

Un satellite n'est visible qu'environ la moitié du temps. Pourquoi faut-il une trentaine de satellites pour qu'au moins quatre soient visibles partout, à tout instant ?

Corrigé

1. $r = R_{T} + h = 6, 4 \times 1 0^{6} m + 2, 02 \times 1 0^{7} m \approx 2, 66 \times 1 0^{7} m$ . Le PFD donne $v = \frac{G M _{T}}{r}$ ; avec $G M_{T} = 4, 0 \times 1 0^{14}$ (SI), $v = \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{14}}{2 , 66 \times 1 0 ^{7}} \approx 3, 9 \times 1 0^{3} m / s$ ( $\approx 14000 km / h$ ).

2. $T = \frac{2 π r}{v} = \frac{2 π \times 2 , 66 \times 1 0 ^{7}}{3 , 9 \times 1 0 ^{3}} \approx 4, 3 \times 1 0^{4} s = \frac{43000}{3600} h \approx 12 h$ : deux tours par jour.

3. Un satellite reste au-dessus de l'horizon $\sim 6 h$ : il se lève et se couche sans cesse, et n'est visible que d'une portion du globe. Pour garantir, depuis n'importe où et à tout instant, la visibilité d'au moins quatre satellites (les quatre inconnues : trois coordonnées + le décalage d'horloge du récepteur), il faut une trentaine de satellites répartis sur six plans orbitaux.

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