La masse sur une table percée, reliée à une masse pendante

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · B. Force centrale conservative : énergie potentielle effective

Énoncé

Un palet de masse $m_{1}$ glisse sans frottement sur une table horizontale percée d'un petit trou $O$ . Il est attaché à un fil inextensible, sans masse, de longueur $ℓ$ , qui passe sans frottement par le trou et soutient une masse $m_{2}$ pendante, qui ne se déplace que verticalement. On repère le palet par ses coordonnées polaires $(r, θ)$ de pôle $O$ dans le plan de la table ; on suppose que le fil reste tendu et que $0 < r < ℓ$ . Le référentiel du laboratoire est galiléen ; $g$ est l'intensité de la pesanteur.

Montrer que la force horizontale exercée sur le palet est centrale. En déduire que $L = m_{1} r^{2} θ ˙$ est constant.

Écrire l'énergie mécanique du système {palet + masse pendante} et la mettre sous la forme $E_{m} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) r ˙^{2} + E_{p}^{eff} (r)$ , avec $E_{p}^{eff} (r) = \frac{L ^{2}}{2 m _{1} r ^{2}} + m_{2} g r + cte .$ Tracer l'allure de $E_{p}^{eff}$ . Le mouvement radial est-il toujours borné ?

Déterminer le rayon $r_{0}$ de l'orbite circulaire du palet et montrer qu'elle est stable. Retrouver la relation $m_{1} r_{0} θ ˙_{0}^{2} = m_{2} g$ par un argument direct.

Linéariser le mouvement radial au voisinage de $r_{0}$ et montrer que la pulsation des petites oscillations radiales vérifie $ω_{r}^{2} = \frac{3 m _{2} g}{( m _{1} + m _{2} ) r _{0}}, \frac{ω _{r}^{2}}{θ ˙ _{0}^{2}} = \frac{3 m _{1}}{m _{1} + m _{2}} .$

Pour $m_{1} = m_{2}$ , la trajectoire légèrement perturbée est-elle fermée ? Pour quelle valeur de $m_{2} / m_{1}$ le palet repasse-t-il au même rayon minimal exactement une fois par tour ? Comparer avec le cas newtonien.

Corrigé

La stratégie. C'est la démarche du cours, appliquée à un système réel : constante des aires, énergie, élimination de $θ ˙$ , puis lecture de l'énergie potentielle effective. La seule nouveauté est que l'inertie du mouvement radial n'est pas $m_{1}$ mais $m_{1} + m_{2}$ : la masse pendante bouge quand $r$ change.

1) Une force centrale. Le palet subit son poids et la réaction de la table, verticaux et qui se compensent (il reste sur la table, et il n'y a pas de frottement), et la tension du fil. Le fil est tendu et passe par le trou : la tension est dirigée de $M$ vers $O$ , $T_{1} = - T u_{r}$ . La résultante horizontale est donc centrale de centre $O$ , fixe. Son moment en $O$ est nul ; le moment du poids et celui de la réaction se compensent, puisque ces deux forces sont opposées et appliquées au même point. Par le théorème du moment cinétique en $O$ , la composante verticale $L = m_{1} r^{2} θ ˙$ du moment cinétique du palet est constante.

2) L'énergie et l'énergie potentielle effective. Pour le système {palet + masse pendante + fil}, la réaction de la table et l'action du bord du trou ne travaillent pas (pas de frottement), et les tensions d'un fil inextensible sans masse ont une puissance totale nulle : seuls les poids travaillent, le système est conservatif.

La masse pendante est à la profondeur $ℓ - r$ sous la table : sa cote est $z = - (ℓ - r)$ et sa vitesse a pour norme $∣ z ˙ ∣ = ∣ r ˙ ∣$ . Le palet a pour énergie cinétique $\frac{1}{2} m_{1} (r ˙^{2} + r^{2} θ ˙^{2})$ . Ainsi $E_{m} = \frac{1}{2} m_{1} (r ˙^{2} + r^{2} θ ˙^{2}) + \frac{1}{2} m_{2} r ˙^{2} + m_{2} g (r - ℓ) .$ On élimine $θ ˙$ par la constante : $r^{2} θ ˙^{2} = \frac{L ^{2}}{m _{1}^{2} r ^{2}}$ , d'où $E_{m} = \frac{1}{2} (m_{1} + m_{2}) r ˙^{2} + E_{p}^{eff} (r) \frac{L ^{2}}{2 m _{1} r ^{2}} + m_{2} g r - m_{2} g ℓ .$

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