Le paradoxe du satellite freiné

La Station spatiale internationale (masse $m=4,2\times 10^5\mathrm{kg}$) décrit une orbite quasi circulaire à l'altitude $h=400\mathrm{km}$. Les traces d'atmosphère exercent sur elle une force de traînée $\vec{f}$, opposée à la vitesse, très faible : l'orbite reste à chaque instant quasi circulaire, mais son rayon diminue lentement. On donne $\mathcal{G}{M}_T=3,986\times 10^{14}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-2}$ et $R_T=6371\mathrm{km}$.

1. Pour une orbite circulaire de rayon $r$, établir ${\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}=-{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ et ${\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}=2{\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$.

1. Par le théorème de l'énergie mécanique, montrer que ${\mathcal{E}}_{\mathrm{m}}$ diminue. En déduire que le rayon diminue et que la vitesse augmente. Comment la traînée, qui s'oppose à la vitesse, peut-elle accélérer le satellite ? Comparer $\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{c}}$, $\Delta {\mathcal{E}}_{\mathrm{p}}$ et le travail de $\vec{f}$.

1. Sans réhausse, l'ISS perd environ $\Delta h=2,0\mathrm{km}$ d'altitude en un mois de $30$ jours. Calculer la variation d'énergie mécanique correspondante et le gain de vitesse.

1. En déduire la valeur moyenne de la force de traînée. Avec $f=\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^2$ et $S{C}_x\approx 4\times 10^3{\mathrm{m}}^2$, estimer la masse volumique de l'air à $400\mathrm{km}$ et commenter.

1. L'ISS doit être régulièrement réhaussée. Expliquer pourquoi, pour remonter, il faut d'abord accélérer, alors que la vitesse sur l'orbite plus haute sera plus faible.