Le satellite de télévision immobile dans le ciel

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énoncé

Une antenne parabolique est fixée une fois pour toutes, pointée vers un point précis du ciel. Pour ne jamais perdre le signal, le satellite doit paraître parfaitement immobile : il est géostationnaire, donc sa période vaut un jour ( $T = 86400 s$ ).

Pourquoi faut-il une période d'un jour pour que le satellite semble fixe vu du sol ?

Par la 3ᵉ loi de Kepler, exprimer le rayon $r$ de l'orbite en fonction de $G$ , $M_{T}$ , $T$ .

Calculer $r$ , puis l'altitude $h$ . Vérifier $h \approx 36000 km$ .

Quel est l'avantage décisif de cette orbite pour la télévision ?

Corrigé

1. Le sol et le satellite tournent dans le même sens autour de l'axe des pôles. Si le satellite met exactement un jour pour faire un tour, il garde la même position relative à un point du sol : vu de l'antenne, il reste figé.

2. $T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{G M _{T}} r^{3}$ donne $r = (\frac{G M _{T} T ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3}$ .

3. $r = (\frac{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11} \times 6 , 0 \times 1 0 ^{24} \times ( 86400 ) ^{2}}{4 π ^{2}})^{1/3} \approx 4, 2 \times 1 0^{7} m$ . Altitude $h = r - R_{T} \approx 3, 6 \times 1 0^{7} m = 36000 km$ .

4. Le satellite paraissant immobile, l'antenne reste fixe sans système de suivi : on l'oriente une fois et le signal est capté en permanence. Un seul satellite couvre une vaste région.

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