Le satellite géostationnaire : où, à quelle altitude, que voit-il ?

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · C. Le champ newtonien

Énoncé

Un satellite de télévision doit paraître immobile pour une antenne fixée au sol. On donne $G M_{T} = 3, 986 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$ , le rayon équatorial $R_{T} = 6378 km$ , le jour sidéral $T_{sid} = 86164 s$ et la vitesse de la lumière $c = 3, 00 \times 1 0^{8} m s^{- 1}$ .

Le satellite étant immobile par rapport au sol, il décrit, dans le référentiel géocentrique, un cercle centré sur l'axe des pôles, dans un plan perpendiculaire à cet axe. En utilisant le fait que le plan de toute orbite contient le centre de la Terre, montrer qu'il est nécessairement dans le plan équatorial.

Pourquoi sa période vaut-elle $86164 s$ et non $86400 s$ ?

Calculer le rayon $r$ de l'orbite, l'altitude $h$ et la vitesse $v$ .

Jusqu'à quelle latitude le satellite est-il visible au-dessus de l'horizon (en négligeant le relief) ?

Calculer la durée de l'aller-retour d'un signal radio entre le sol et le satellite, pour une station située à la verticale du satellite puis pour une station en limite de visibilité. Commenter pour une conversation téléphonique.

Corrigé

La stratégie. « Immobile par rapport au sol » impose deux conditions bien distinctes : une période (celle de la rotation terrestre), qui fixe l'altitude par la troisième loi de Kepler ; et un plan, que la conservation du moment cinétique fixe.

1) Le plan équatorial. Immobile par rapport au sol, le satellite tourne avec la Terre : dans le référentiel géocentrique, il décrit un cercle centré en un point $K$ de l'axe des pôles, dans le plan perpendiculaire à l'axe passant par lui. Or la seule force est l'attraction de la Terre, centrale de centre $O$ ; le moment cinétique en $O$ est conservé et le mouvement est plan, dans un plan qui contient $O$ . Le plan du cercle contient donc $O$ et est perpendiculaire à l'axe des pôles : c'est le plan équatorial, et $K = O$ . Au-dessus d'une latitude non nulle, le cercle serait centré hors de $O$ : impossible. Sur une orbite inclinée de même période, le satellite oscillerait chaque jour en latitude.

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