Les satellites galiléens pèsent Jupiter

La stratégie. Une loi de puissance $T\propto a^{3/2}$ devient une droite en coordonnées logarithmiques. On ne teste pas une formule sur un seul point : on vérifie l'exposant sur tous les points, puis l'ordonnée à l'origine donne la masse.

1) Le mouvement circulaire et la troisième loi. Dans le référentiel « jupiterocentrique », supposé galiléen, le satellite n'est soumis qu'à $\vec{F}=-\frac{\mathcal{G}m{M}_J}{a^2}{\vec{u}}_r$. En polaires, pour $r=a$ constant, l'accélération vaut $-a{\dot{\theta }}^2{\vec{u}}_r+a\ddot{\theta }{\vec{u}}_{\theta }$. La projection sur ${\vec{u}}_{\theta }$ du principe fondamental donne $ma\ddot{\theta }=0$ : $\dot{\theta }$ est constant, le mouvement est uniforme (c'est aussi la loi des aires avec $r$ constant). La projection sur ${\vec{u}}_r$ donne $$ma{\dot{\theta }}^2=\frac{\mathcal{G}m{M}_J}{a^2}⟹{\dot{\theta }}^2=\frac{\mathcal{G}{M}_J}{a^3}.$$ Avec $T=2\pi /\dot{\theta }$, $T^2=\frac{4{\pi }^2}{\mathcal{G}{M}_J}{a}^3$. La masse $m$ se simplifie parce qu'elle est à la fois la masse grave (dans la force) et la masse inerte (dans le principe fondamental) : tous les corps tombent de la même façon, et le satellite « ne se pèse pas lui-même ».