Peser la Terre sans la poser sur une balance

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énoncé

En 1798, Cavendish mesure la constante de gravitation $G$ avec une balance de torsion. Aussitôt, connaissant $g$ et le rayon terrestre $R_{T}$ , on peut « peser » la Terre entière.

Un corps de masse $m$ au sol subit son poids $m g$ . En écrivant que c'est la force de gravitation de la Terre, établir $g = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}}$ .

En déduire $M_{T}$ en fonction de $g$ , $R_{T}$ , $G$ .

Calculer $M_{T}$ ( $g = 9, 81 m / s^{2}$ , $R_{T} = 6, 4 \times 1 0^{6} m$ , $G = 6, 67 \times 1 0^{- 11}$ ).

En déduire la masse volumique moyenne ( $V = \frac{4}{3} π R_{T}^{3}$ ) et comparer aux roches de surface ( $\approx 3, 0 \times 1 0^{3} kg / m^{3}$ ). Conclusion sur le noyau ?

Corrigé

1. La Terre (symétrie sphérique) attire comme si toute sa masse était au centre : $F = \frac{G M _{T} m}{R _{T}^{2}}$ . Le poids l'identifie : $m g = \frac{G M _{T} m}{R _{T}^{2}}$ , d'où $g = \frac{G M _{T}}{R _{T}^{2}}$ .

2. $M_{T} = \frac{g R _{T}^{2}}{G}$ .

3. $M_{T} = \frac{9 , 81 \times ( 6 , 4 \times 1 0 ^{6} ) ^{2}}{6 , 67 \times 1 0 ^{- 11}} \approx 6, 0 \times 1 0^{24} kg$ .

4. $V = \frac{4}{3} π R_{T}^{3} \approx 1, 1 \times 1 0^{21} m^{3}$ , donc $ρ = \frac{M _{T}}{V} \approx 5, 5 \times 1 0^{3} kg / m^{3}$ : près de deux fois la densité des roches de surface. La Terre est donc bien plus dense au centre — un noyau métallique (fer-nickel).

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