Pourquoi l'hiver boréal est plus court que l'été

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · A. Force centrale : conservation du moment cinétique

Énoncé

La Terre décrit autour du Soleil une orbite de demi-grand axe $a$ , d'excentricité $e = 0, 0167$ , en $T = 365, 25$ jours. Le périhélie est atteint vers le 3 janvier. On admet qu'au premier ordre en $e$ l'orbite se confond avec un cercle de rayon $a$ dont le centre est à la distance $e a$ du Soleil, et que la droite des équinoxes (droite Soleil–Terre aux deux équinoxes) est, à cette précision, perpendiculaire à la droite Soleil–périhélie.

Rappeler pourquoi le mouvement est plan et pourquoi le rayon vecteur Soleil–Terre balaie des aires égales en des durées égales. Exprimer la vitesse aréolaire en fonction de l'aire $A$ de l'orbite et de $T$ .

La droite des équinoxes partage l'orbite en deux parties. Montrer que leur différence d'aire vaut, au premier ordre en $e$ , $Δ A ≃ 4 e a^{2}$ .

En déduire l'écart de durée entre les deux demi-années, $Δ t ≃ \frac{4 e}{π} T$ , et le calculer. Laquelle des deux moitiés (printemps et été boréaux, ou automne et hiver boréaux) est la plus longue ?

Les durées observées sont d'environ $186, 4$ jours (de l'équinoxe de mars à celui de septembre) et $178, 8$ jours. Comparer et commenter l'écart résiduel.

Corrigé

La stratégie. La loi des aires transforme une aire en une durée : si l'aire est balayée à vitesse constante, la durée d'un parcours est proportionnelle à l'aire balayée. Il suffit donc de comparer deux aires, ce que le modèle du cercle décentré rend élémentaire.

1) Mouvement plan et loi des aires. On étudie la Terre dans le référentiel héliocentrique, supposé galiléen, en ne retenant que l'attraction du Soleil, centrale de centre le Soleil $S$ . Son moment en $S$ est nul, donc le moment cinétique $L_{S}$ de la Terre est constant (théorème du moment cinétique). Le vecteur $S M$ est à chaque instant orthogonal au vecteur constant $L_{S} = S M \land m v$ : la Terre reste dans le plan passant par $S$ et orthogonal à $L_{S}$ — le mouvement est plan. Dans ce plan, l'aire balayée pendant $d t$ par le rayon vecteur est celle d'un triangle d'angle $d θ$ entre deux côtés de longueur $r$ , soit $\frac{1}{2} r^{2} d θ$ , d'où la vitesse aréolaire $\frac{d A}{d t} = \frac{1}{2} r^{2} θ ˙ = \frac{C}{2} = constante .$ Sur une période, le rayon vecteur balaie toute l'orbite : $\frac{C}{2} T = A$ , donc $\frac{d A}{d t} = \frac{A}{T}$ . Dans le modèle, $A = π a^{2}$ .

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