Pourquoi la Lune ne tombe pas : le boulet de Newton

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énoncé

En 1687, Newton imagine un canon au sommet d'une montagne : plus le boulet est rapide, plus il retombe loin… jusqu'à « rater » la Terre en permanence et revenir à son point de départ — il est en orbite. La Lune, à $d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ , fait exactement cela.

Pour une orbite circulaire de rayon $r$ , écrire la 2ᵉ loi de Newton et en déduire $v = G M_{T} / r$ .

Calculer $v$ pour la Lune, puis $T = 2 π r^{3} / (G M_{T})$ . Comparer aux $27, 3$ jours observés.

Évaluer $a = v^{2} / d$ et la comparer à $g_{0} = 9, 81 m / s^{2}$ . Pourquoi est-elle si faible ?

De combien la Lune « tombe-t-elle » en $1, 0 s$ ? Montrer que cela compense la courbure de la Terre.

Corrigé

1. L'accélération centripète $v^{2} / r$ est fournie par la gravitation : $\frac{G M _{T} m}{r ^{2}} = \frac{m v ^{2}}{r}$ , d'où $v = \frac{G M _{T}}{r}$ (la masse de la Lune disparaît).

2. $G M_{T} = 4, 0 \times 1 0^{14}$ , $r = d = 3, 84 \times 1 0^{8} m$ : $v = \frac{4 , 0 \times 1 0 ^{14}}{3 , 84 \times 1 0 ^{8}} \approx 1, 0 \times 1 0^{3} m / s$ . $T = 2 π \frac{r ^{3}}{G M _{T}} \approx 2, 4 \times 1 0^{6} s \div 86400 \approx 28 jours$ , en accord avec les $27, 3$ jours.

3. $a = \frac{v ^{2}}{d} = \frac{( 1 , 0 \times 1 0 ^{3} ) ^{2}}{3 , 84 \times 1 0 ^{8}} \approx 2, 7 \times 1 0^{- 3} m / s^{2}$ , soit $g_{0} /3600$ : cohérent avec la décroissance en $1/ r^{2}$ (la Lune est à $\approx 60 R_{T}$ , et $6 0^{2} = 3600$ ).

4. En $1, 0 s$ , la chute vaut $\frac{1}{2} a Δ t^{2} \approx 1, 4 \times 1 0^{- 3} m$ ( $\approx 1, 4 mm$ ). Pendant ce temps la Lune avance de $v Δ t \approx 1, 0 km$ ; la Terre se « dérobe » par sa courbure d'exactement ces $1, 4 mm$ : la Lune tombe sans jamais se rapprocher.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.