Problème : le transfert de Hohmann

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · C. Le champ newtonien

Énoncé

Un satellite de masse $m$ est en orbite circulaire basse de rayon $r_{1}$ autour de la Terre ; on veut le placer sur l'orbite géostationnaire, circulaire de rayon $r_{2} > r_{1}$ , dans le même plan. Le moteur agit par impulsions : chaque allumage est assez bref pour modifier la vitesse sans modifier la position. On appelle incrément de vitesse $Δ v$ la variation de norme de la vitesse produite par un allumage ; la consommation de carburant croît avec $Δ v$ . On donne $G M_{T} = 3, 986 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$ , $R_{T} = 6378 km$ , $r_{1} = 6678 km$ ( $300 km$ d'altitude) et $r_{2} = 42164 km$ .

Orbite circulaire de rayon $r$ : rappeler la vitesse $v_{c} (r)$ et l'énergie mécanique $E_{m} = - \frac{G m M _{T}}{2 r}$ . Calculer $v_{1} = v_{c} (r_{1})$ et $v_{2} = v_{c} (r_{2})$ .

L'orbite de transfert est une ellipse tangente aux deux cercles : son périgée est à la distance $r_{1}$ , son apogée à la distance $r_{2}$ . En écrivant les deux constantes du mouvement, $C$ et $E_{m}$ , au périgée et à l'apogée, montrer que $E_{m} = - \frac{G m M _{T}}{r _{1} + r _{2}}$ .

En déduire la vitesse au périgée $v_{p} = v_{1} \frac{2 r _{2}}{r _{1} + r _{2}}$ et la vitesse à l'apogée $v_{a} = v_{p} \frac{r _{1}}{r _{2}}$ . Les calculer.

Calculer les incréments de vitesse $Δ v_{1}$ au périgée et $Δ v_{2}$ à l'apogée, et leur somme. Où, et dans quel sens, faut-il allumer le moteur à chaque fois ?

Calculer la durée du transfert.

Cas limite $r_{2} \to + \infty$ : que deviennent $Δ v_{1}$ , $Δ v_{2}$ et l'énergie de l'orbite de transfert ? Interpréter, puis vérifier l'homogénéité des formules obtenues. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. Un allumage bref fait passer d'une orbite à une autre qui passe par le même point. On calcule tout par les deux constantes du mouvement, écrites aux apsides, où la vitesse est orthoradiale : aucune géométrie de l'ellipse n'est nécessaire.

1) Les orbites circulaires. Le principe fondamental en projection radiale, $\frac{m v ^{2}}{r} = \frac{G m M _{T}}{r ^{2}}$ , donne $v_{c} (r) = \frac{G M _{T}}{r}, E_{m} = \frac{1}{2} m v_{c}^{2} - \frac{G m M _{T}}{r} = - \frac{G m M _{T}}{2 r} .$ Numériquement, $v_{1} = 7, 73 km s^{- 1}$ et $v_{2} = 3, 07 km s^{- 1}$ . L'orbite haute est la plus lente, mais la plus énergétique : par unité de masse, $E_{m}$ passe de $- 29, 8$ à $- 4, 7 MJ k g^{- 1}$ .

2) L'énergie de l'ellipse de transfert. Au périgée et à l'apogée, $r ˙ = 0$ : la vitesse est orthoradiale et la constante des aires vaut $C = r_{1} v_{p} = r_{2} v_{a}$ . La conservation de l'énergie entre ces deux points s'écrit $\frac{1}{2} m v_{p}^{2} - \frac{G m M _{T}}{r _{1}} = \frac{1}{2} m v_{a}^{2} - \frac{G m M _{T}}{r _{2}} .$ On remplace $v_{p} = C / r_{1}$ et $v_{a} = C / r_{2}$ : $\frac{m C ^{2}}{2} (\frac{1}{r _{1}^{2}} - \frac{1}{r _{2}^{2}}) = G m M_{T} (\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}}) .$ On factorise $\frac{1}{r _{1}^{2}} - \frac{1}{r _{2}^{2}} = (\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}}) (\frac{1}{r _{1}} + \frac{1}{r _{2}})$ , et l'on simplifie par $\frac{1}{r _{1}} - \frac{1}{r _{2}} \neq = 0$ : $C^{2} = \frac{2 G M _{T} r _{1} r _{2}}{r _{1} + r _{2}} .$ L'énergie au périgée vaut alors $E_{m} = \frac{m C ^{2}}{2 r _{1}^{2}} - \frac{G m M _{T}}{r _{1}} = \frac{G m M _{T}}{r _{1}} (\frac{r _{2}}{r _{1} + r _{2}} - 1) = - \frac{G m M _{T}}{r _{1} + r _{2}} .$ C'est $- G m M_{T} / (2 a)$ avec $2 a = r_{1} + r_{2}$ : on retrouve le résultat de l'exercice 5, et l'énergie de transfert est comprise entre celles des deux cercles.

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