Relation de vis-viva

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif

Énoncé

Pour une orbite elliptique de demi-grand axe $a$ , établir la vitesse en un point situé à la distance $r$ de l'astre : $v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a})$ .

Corrigé

L'énergie mécanique vaut à la fois $E_{m} = \frac{1}{2} m v^{2} - \frac{G m M}{r}$ (en un point quelconque) et $E_{m} = - \frac{G m M}{2 a}$ (résultat admis pour l'ellipse). En égalant et en isolant $v^{2}$ :

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{G m M}{r} - \frac{G m M}{2 a} ⟹ v^{2} = G M (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}) .$

Pour $r = a$ (orbite circulaire), on retrouve $v^{2} = G M / a$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.