Trajectoires numériques en force centrale

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 7 — Mouvements dans un champ de force centrale conservatif · B. Force centrale conservative : énergie potentielle effective

Énoncé

(Capacité numérique.) On intègre le mouvement d'un satellite dans le champ newtonien de la Terre, $a = - \frac{G M}{r ^{2}} u_{r}$ , avec $G M = 3, 99 \times 1 0^{14} m^{3} s^{- 2}$ . Le satellite part de $r_{0} = 7, 0 \times 1 0^{6} m$ avec une vitesse orthoradiale $v_{0} = 9, 0 km s^{- 1}$ . Deux schémas de pas $Δ t$ sont comparés : le schéma d'Euler explicite, $r_{n + 1} = r_{n} + v_{n} Δ t$ et $v_{n + 1} = v_{n} + a_{n} Δ t$ ; et le schéma d'Euler semi-implicite de l'encadré du cours, $v_{n + 1} = v_{n} + a_{n} Δ t$ puis $r_{n + 1} = r_{n} + v_{n + 1} Δ t$ , où $a_{n}$ est l'accélération calculée en $r_{n}$ .

Avant tout calcul : comparer $v_{0}$ à la vitesse circulaire $v_{c}$ et à la vitesse de libération $v_{lib}$ en $r_{0}$ . Prévoir la nature de la trajectoire ; calculer le demi-grand axe $a$ (par $E_{m} = - G m M / (2 a)$ ), la distance maximale $r_{m a x}$ et la période $T$ .

Montrer que le schéma semi-implicite conserve exactement la constante des aires, $r_{n + 1} \land v_{n + 1} = r_{n} \land v_{n}$ , et que le schéma explicite ne la conserve pas.

Écrire un script qui intègre une période avec les deux schémas, pour $Δ t = 10 s$ et $Δ t = 1 s$ , et affiche les variations relatives de $E_{m}$ et de $C$ . Commenter.

Explorer le seuil entre état lié et état de diffusion en lançant le satellite à $10, 5$ puis $10, 9 km s^{- 1}$ .

On remplace la loi de force par une loi en $r^{- 2, 2}$ , de même intensité en $r_{0}$ : $a = - G M \frac{r _{0}^{0, 2}}{r ^{2, 2}} u_{r}$ . La trajectoire est-elle encore fermée ? Mesurer l'angle entre deux passages successifs au point le plus proche, et le comparer à la prévision obtenue en linéarisant le mouvement radial au voisinage d'une orbite circulaire.

Corrigé

La stratégie. Une jolie courbe ne prouve rien : il faut un critère de justesse. La physique en fournit deux, gratuits : la constante des aires et l'énergie mécanique, que la vraie trajectoire conserve. On calcule d'abord ce qu'on attend, puis on mesure ce que le schéma conserve.

1) Prévisions. En $r_{0}$ : $v_{c} = G M / r_{0} = 7, 55 km s^{- 1}$ et $v_{lib} = 2 v_{c} = 10, 68 km s^{- 1}$ . On a $v_{c} < v_{0} < v_{lib}$ : l'énergie mécanique est négative, l'état est lié, et la trajectoire est une ellipse dont $r_{0}$ est le périgée (la vitesse y est orthoradiale et supérieure à la vitesse circulaire, donc le satellite s'éloigne ensuite). Par unité de masse : $\frac{E _{m}}{m} = \frac{v _{0}^{2}}{2} - \frac{G M}{r _{0}} = - 1, 65 \times 1 0^{7} J k g^{- 1}, a = - \frac{G M}{2 E _{m} / m} = 1, 209 \times 1 0^{7} m .$ La somme des distances au périgée et à l'apogée vaut $2 a$ (on le démontrera à l'exercice 5 par les constantes du mouvement), d'où $r_{m a x} = 2 a - r_{0} = 1, 72 \times 1 0^{7} m$ , et la troisième loi de Kepler, admise pour l'ellipse, donne $T = 2 π a^{3} / (G M) = 3, 67 h$ .

2) Ce que conserve chaque schéma. Pour le schéma semi-implicite : $r_{n + 1} \land v_{n + 1} = (r_{n} + v_{n + 1} Δ t) \land v_{n + 1} = r_{n} \land v_{n + 1},$ car $v_{n + 1} \land v_{n + 1} = 0$ . Puis $r_{n} \land v_{n + 1} = r_{n} \land v_{n} + Δ t r_{n} \land a_{n} = r_{n} \land v_{n},$ car $a_{n}$ est colinéaire à $r_{n}$ — c'est exactement le caractère central de la force. Le schéma conserve donc la constante des aires à la précision de la machine près, quel que soit $Δ t$ .

Pour le schéma explicite : $r_{n + 1} \land v_{n + 1} = (r_{n} + v_{n} Δ t) \land (v_{n} + a_{n} Δ t) = r_{n} \land v_{n} + Δ t^{2} v_{n} \land a_{n},$ et le terme $Δ t^{2} v_{n} \land a_{n}$ n'est pas nul en général : $C$ dérive, d'autant moins que le pas est petit.

3) Le script et son résultat.

La suite du corrigé est sur Adloun

Le corrigé rédigé en entier, avec les autres exercices du chapitre et le tuteur qui guide sans donner la réponse.

Voir le corrigé complet

Gratuit : il suffit de créer un compte (e-mail, nom d'utilisateur, mot de passe, classe), et tu arrives directement sur le corrigé.

Le cours du chapitre · Les autres exercices du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.