Une orbite circulaire qui passe par le centre de force

La stratégie. On ne connaît pas la force, on connaît la trajectoire. Le cours donne l'outil qui fait le pont : la conservation du moment cinétique, qui relie la vitesse angulaire à la position, $\dot{\theta }=C/r^2$. Avec elle, toute dérivée temporelle se ramène à une dérivée par rapport à $\theta$, et l'accélération radiale se calcule sur la seule équation $r(\theta )$. C'est le principe newtonien : la trajectoire détermine la loi de force.

1) La constante des aires, puis $\dot{r}$ et $\ddot{r}$. La force est centrale de centre $O$ fixe, donc son moment en $O$ est nul : $\overrightarrow{OM}\wedge \vec{F}=r{\vec{u}}_r\wedge F(r){\vec{u}}_r=\vec{0}$. Le théorème du moment cinétique en $O$, dans le référentiel galiléen, donne $\frac{\mathrm{d}{\vec{L}}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{0}$ : le moment cinétique est constant. En coordonnées polaires, ${\vec{L}}_O=m{r}^2\dot{\theta }{\vec{u}}_z$, donc $C=r^2\dot{\theta }$ est constante.

On dérive l'équation de la trajectoire par rapport au temps, en dérivant la fonction composée $t\mapsto \theta (t)$ : $$\dot{r}=-2R\sin \theta \dot{\theta }=-\frac{2RC\sin \theta }{r^2}.$$ On dérive une seconde fois, en se souvenant que $r$ et $\theta$ dépendent tous deux du temps : $$\ddot{r}=-2RC\left(\frac{\cos \theta \dot{\theta }}{r^2}-\frac{2\sin \theta \dot{r}}{r^3}\right).$$ On remplace $\dot{\theta }$ par $C/r^2$ et $\dot{r}$ par l'expression précédente : $$\ddot{r}=-\frac{2R{C}^2\cos \theta }{r^4}-\frac{8R^2{C}^2{\sin }^2\theta }{r^5}.$$