Cylindre roulant et énergie

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide

Énoncé

Un cylindre (masse $m$ , rayon $R$ , $J = \frac{1}{2} m R^{2}$ ) roule sans glisser sur un plan incliné depuis le repos, descendant d'une hauteur $h$ . Déterminer la vitesse de son centre en bas, par bilan énergétique.

Corrigé

Le roulement sans glissement impose $v = R ω$ . L'énergie cinétique totale combine translation et rotation : $E_{c} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} J ω^{2} = \frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} m R^{2} \cdot \frac{v ^{2}}{R ^{2}} = \frac{3}{4} m v^{2}$ . La conservation de l'énergie ( $m g h = E_{c}$ , le contact ne travaille pas en roulement sans glissement) donne

$\frac{3}{4} m v^{2} = m g h ⟹ v = \frac{4}{3} g h < 2 g h .$

Le cylindre arrive moins vite qu'un point glissant : une partie de l'énergie est passée dans la rotation.

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