L'embrayage : deux disques qui s'accouplent

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide · B. Moment cinétique d'un solide ; moment d'inertie

Énoncé

Un disque $D_{1}$ (moment d'inertie $J_{1}$ par rapport à son axe $Δ$ ) tourne librement à la vitesse angulaire $ω_{0}$ autour de l'axe fixe $Δ$ . On approche, le long du même axe, un disque $D_{2}$ (moment d'inertie $J_{2}$ par rapport à $Δ$ ), initialement immobile, qui peut lui aussi tourner librement autour de $Δ$ . Les deux disques entrent en contact par leurs faces : le frottement entre les garnitures les entraîne l'un par l'autre jusqu'à ce qu'ils tournent ensemble. Les liaisons pivot sont parfaites.

1) On considère le système { $D_{1}$ + $D_{2}$ }. Justifier que son moment cinétique par rapport à $Δ$ se conserve. En déduire la vitesse angulaire commune finale $ω_{f}$ .

2) Comparer les énergies cinétiques initiale et finale. Montrer que la fraction d'énergie perdue vaut $\frac{J _{2}}{J _{1} + J _{2}}$ . Où est passée cette énergie ?

3) On suppose que, pendant la phase de glissement, les garnitures exercent l'une sur l'autre des couples de moments opposés, de valeur absolue constante $Γ$ . Écrire le théorème scalaire du moment cinétique pour chaque disque, en déduire la durée $τ$ du glissement, et retrouver l'énergie perdue comme le travail du couple de frottement dans le mouvement relatif.

4) Application numérique : $J_{1} = 0, 20 kg m^{2}$ , $J_{2} = 0, 05 kg m^{2}$ , $ω_{0} = 300 rad s^{- 1}$ , $Γ = 15 N m$ .

5) Quelle situation de mécanique du point présente exactement la même structure ? Quels sont les cas limites $J_{2} ≪ J_{1}$ et $J_{2} ≫ J_{1}$ ?

Corrigé

La stratégie. Pour le système global, les frottements entre disques sont intérieurs : ils disparaissent du bilan de moment cinétique, pas du bilan d'énergie. Pour chaque disque, ils sont extérieurs et fixent la durée du phénomène.

1) Conservation du moment cinétique. Les actions extérieures au système { $D_{1}$ + $D_{2}$ } sont les poids, de moment nul par rapport à $Δ$ (les centres de masse sont sur l'axe), et les actions des liaisons pivot parfaites, de moment nul. Les couples de frottement entre garnitures sont intérieurs : le disque $D_{1}$ exerce sur $D_{2}$ un moment $+ Γ$ , et $D_{2}$ exerce sur $D_{1}$ le moment opposé $- Γ$ (actions réciproques). Leur somme est nulle. Le théorème scalaire du moment cinétique appliqué au système donne donc $\frac{d}{d t} (J_{1} ω_{1} + J_{2} ω_{2}) = 0.$ Entre l'état initial ( $ω_{1} = ω_{0}$ , $ω_{2} = 0$ ) et l'état final ( $ω_{1} = ω_{2} = ω_{f}$ ) : $J_{1} ω_{0} = (J_{1} + J_{2}) ω_{f} ⟹ ω_{f} = \frac{J _{1}}{J _{1} + J _{2}} ω_{0} .$

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