L'essai de lâcher : identifier la loi de frottement et mesurer $J$

Le disque d'une meuleuse est un disque homogène de masse $M=0,40\mathrm{kg}$ et de rayon $R=0,060\mathrm{m}$, de moment d'inertie $J=\frac{1}{2}M{R}^2$ par rapport à son axe. En régime permanent, il tourne à ${\omega }_0=300\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et le moteur lui fournit la puissance ${\mathcal{P}}_0=5,4\mathrm{W}$, qui compense exactement les frottements. À $t=0$ on coupe le moteur (« essai de lâcher ») et l'on enregistre $\omega (t)$.

1) Modèle A : les frottements des roulements exercent un couple résistant de moment constant, $-\Gamma$ avec $\Gamma >0$. Établir $\omega (t)$, la durée d'arrêt $t_a$ et le nombre de tours effectués. Calculer $J$, $\Gamma$, $t_a$ et le nombre de tours.

2) Modèle B : le couple résistant est visqueux, de moment $-\lambda \omega$, avec $\lambda >0$. On choisit $\lambda$ pour que la décélération initiale soit la même que dans le modèle A. Établir $\omega (t)$ et le temps caractéristique $\tau$. Le disque s'arrête-t-il ? Calculer l'angle total parcouru.

3) Comment trancher entre les deux modèles sur l'enregistrement $\omega (t)$ ? Comparer les valeurs de $\omega$ à $t=6\mathrm{s}$ dans les deux modèles.

4) Montrer que, quelle que soit la loi de frottement, le moment d'inertie s'obtient par $J=\frac{{\mathcal{P}}_0}{{\omega }_0|\dot{\omega }(0^{+})|}$, où $|\dot{\omega }(0^{+})|$ est la pente de la courbe juste après la coupure. On mesure $|\dot{\omega }(0^{+})|=25\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-2}$ : retrouver $J$.