L'essoreuse à salade

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide

Énoncé

On essore une salade. Une manivelle entraîne le panier, assimilé à un cylindre creux mince de masse $M = 0, 30 kg$ et de rayon $R = 0, 10 m$ . On fournit un travail $W = 1, 2 J$ , puis on lâche : la rotation libre est freinée par un couple de frottement constant.

Le panier est un cylindre creux mince : $J = M R^{2}$ . Calculer $J$ .

Partant du repos, le panier reçoit le travail $W$ . Par le théorème de l'énergie cinétique, déterminer $ω_{0}$ .

Manivelle lâchée, un couple $M_{f} = 8, 0 \times 1 0^{- 3} Nm$ freine. Quel angle total $θ$ (rad puis tours) avant l'arrêt ?

Où est passée l'énergie cinétique accumulée ?

Corrigé

1. Cylindre creux mince (toute la masse à $R$ ) : $J = M R^{2} = 0, 30 \times 0, 1 0^{2} = 3, 0 \times 1 0^{- 3} kg m^{2}$ .

2. $Δ E_{c} = \frac{1}{2} J ω_{0}^{2} = W$ , d'où $ω_{0} = \frac{2 W}{J} = \frac{2 \times 1 , 2}{3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 28 rad / s$ (environ $4, 5$ tours/s).

3. En rotation libre, $0 - \frac{1}{2} J ω_{0}^{2} = - M_{f} θ$ , donc $θ = \frac{W}{M _{f}} = \frac{1 , 2}{8 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 1, 5 \times 1 0^{2} rad$ , soit $\frac{θ}{2 π} \approx 24 tours$ .

4. Toute l'énergie cinétique ( $W = 1, 2 J$ ) est dissipée par le frottement (échauffement de l'axe) : l'énergie n'est pas détruite, elle devient de la chaleur.

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