La balançoire à bras parallèles

Le siège d'une balançoire (masse $M$, de forme quelconque, centre de masse $G$) est suspendu à une poutre horizontale par deux barres rigides parallèles, de même longueur $\ell$, de masse négligeable, articulées sans frottement en $A_1$, $A_2$ (sur la poutre) et en $B_1$, $B_2$ (sur le siège), avec $A_1{A}_2=B_1{B}_2$. On repère la position par l'angle $\theta$ des barres avec la verticale. On néglige tout frottement ; le référentiel terrestre est galiléen. Données : $\ell =2,0\mathrm{m}$, $g=9,81\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$.

1) Montrer que $A_1{A}_2{B}_2{B}_1$ reste un parallélogramme et en déduire que le siège est en translation : le segment $B_1{B}_2$ garde une direction fixe. La translation est-elle rectiligne ? Quelle est la trajectoire de $G$ ?

2) Montrer que tous les points du siège ont, à chaque instant, la même vitesse, de norme $\ell |\dot{\theta }|$. En déduire l'énergie cinétique du siège. Pourquoi n'a-t-on besoin d'aucun moment d'inertie ?

3) Établir l'équation du mouvement par la conservation de l'énergie mécanique. En déduire la période des petites oscillations et la calculer. Dépend-elle de la forme du siège, de sa masse, de la position de $G$ ?

4) Le siège est lâché sans vitesse depuis l'angle ${\theta }_0$. En appliquant la loi de la quantité de mouvement au siège au passage à la verticale, montrer que la somme des tensions des barres vaut $Mg(3-2\cos {\theta }_0)$. Calculer cette somme pour $M=25\mathrm{kg}$ et ${\theta }_0=45^{\circ }$. Cas limite ${\theta }_0\to 0$ ?

5) On remplace les deux barres par une seule barre rigidement soudée au siège : le siège est-il encore en translation ? Quelle grandeur supplémentaire faut-il alors connaître pour obtenir la période ?