La cheminée d'usine qui s'effondre

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide

Énoncé

Lors d'une démolition, on dynamite la base d'une haute cheminée de briques (hauteur $ℓ$ ). Privée d'appui, elle bascule autour de son arête inférieure. On la modélise par une tige homogène de masse $M$ , de longueur $ℓ$ , pivotant sans frottement autour d'une extrémité $O$ . On repère son inclinaison par l'angle $θ$ avec la verticale.

Rappeler le moment d'inertie d'une tige homogène par rapport à un axe passant par une extrémité.

Appliquer le TMC en $O$ et en déduire $θ ¨$ en fonction de $g$ , $ℓ$ , $θ$ .

Comparer l'accélération du sommet $a_{sommet} = ℓ θ ¨$ à la composante tangentielle $g sin θ$ qu'aurait une brique en chute libre. Conclure.

Pourquoi les grandes cheminées se brisent-elles souvent en deux pendant la chute ?

Corrigé

1. Tige homogène, axe par une extrémité : $J_{O} = \frac{1}{3} M ℓ^{2}$ .

2. Le pivot sans frottement a un moment nul ; seul le poids (en $G$ , à $ℓ /2$ de $O$ ) crée un moment $M g \frac{ℓ}{2} sin θ$ . Le TMC scalaire donne $\frac{1}{3} M ℓ^{2} θ ¨ = M g \frac{ℓ}{2} sin θ$ , soit $θ ¨ = \frac{3 g}{2 ℓ} sin θ$ .

3. $a_{sommet} = ℓ θ ¨ = \frac{3}{2} g sin θ$ , alors qu'une brique libre n'aurait que $g sin θ$ : $a_{sommet} = \frac{3}{2} g sin θ > g sin θ$ . Le sommet est entraîné par la rotation plus vite que sa propre chute libre.

4. La rigidité impose la même $θ ¨$ partout. La partie haute « voudrait » accélérer plus vite que sa pesanteur locale : la partie basse doit la « retenir ». Il apparaît un effort de flexion maximal vers le tiers inférieur ; les briques ne supportant pas la traction, la cheminée s'y rompt et se brise en deux.

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