La cheminée qui bascule

Lors d'une démolition, on dynamite la base d'une haute cheminée de briques, de hauteur $\ell =30\mathrm{m}$. Privée d'appui, elle bascule autour de son arête inférieure $O$, qu'on suppose fixe. On la modélise par une tige homogène de masse $M$ et de longueur $\ell$, en rotation sans frottement autour de l'axe horizontal passant par $O$, de moment d'inertie $J_O=\frac{1}{3}M{\ell }^2$ (fourni). On repère son inclinaison par l'angle $\theta$ avec la verticale ascendante ; elle part de ${\theta }_0$ très petit, sans vitesse.

1) Par le théorème scalaire du moment cinétique, établir $\ddot{\theta }$ en fonction de $g$, $\ell$ et $\theta$. Pourquoi la position verticale est-elle une position d'équilibre instable ?

2) Comparer l'accélération tangentielle du sommet, $\ell \ddot{\theta }$, à la composante tangentielle $g\sin \theta$ de l'accélération qu'aurait une brique libre placée au sommet. Plus généralement, à quelle distance $r$ de $O$ un point de la cheminée a-t-il exactement l'accélération tangentielle d'un point libre ? Interpréter.

3) Par une intégrale première, calculer la vitesse angulaire et la vitesse du sommet au moment où la cheminée touche le sol ($\theta =\pi /2$). Comparer à la vitesse d'un objet tombant en chute libre de la hauteur $\ell$.

4) On admet que la durée de la chute depuis ${\theta }_0=5^{\circ }$ vaut environ $5,2\mathrm{s}$, et depuis ${\theta }_0=1^{\circ }$ environ $7,5\mathrm{s}$. Commenter : que vaudrait-elle depuis ${\theta }_0=0$ exactement ?

5) Pourquoi les grandes cheminées se brisent-elles souvent en deux pendant la chute ? On admet que l'effort de flexion est maximal à la distance $\ell /3$ de la base.