La machine d'Atwood à poulie pesante

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide · C. Théorème scalaire du moment cinétique pour le solide

Énoncé

Dans un puits, un treuil hisse une charge. On modélise le dispositif par une machine d'Atwood : deux masses $m_{1} = 2, 0 kg$ et $m_{2} = 1, 5 kg$ pendent aux deux brins d'un fil inextensible, de masse négligeable, passant sur une poulie. La poulie est un disque homogène de masse $M = 1, 0 kg$ et de rayon $R = 5, 0 cm$ , de moment d'inertie $J = \frac{1}{2} M R^{2}$ par rapport à son axe horizontal fixe ; la liaison pivot est parfaite et le fil ne glisse pas sur la poulie. Les deux masses sont lâchées sans vitesse ; $g = 9, 81 m s^{- 2}$ .

1) Si la poulie était de masse négligeable, que dirait le théorème scalaire du moment cinétique des tensions $T_{1}$ et $T_{2}$ des deux brins ? Que change une poulie pesante ?

2) Écrire la loi de la quantité de mouvement pour chaque masse et le théorème scalaire du moment cinétique pour la poulie. Traduire l'inextensibilité du fil et le non-glissement. En déduire l'accélération $a$ de $m_{1}$ .

3) Calculer $a$ , et la comparer à l'accélération $a_{0}$ obtenue avec une poulie idéale. Interpréter le rôle de $J / R^{2}$ .

4) Calculer $T_{1}$ et $T_{2}$ et vérifier qu'elles diffèrent de la quantité attendue.

5) Vérifier le résultat par un bilan d'énergie sur l'ensemble, après une descente $h = 1, 0 m$ de $m_{1}$ .

6) Cas particulier : on supprime $m_{2}$ (treuil qui laisse filer une charge $m_{1}$ ). Que devient $a$ ? Cas limites $J \to 0$ et $J \to \infty$ ?

Corrigé

La stratégie. Trois corps : une équation par corps (quantité de mouvement pour les masses, moment cinétique pour la poulie), reliées par les équations de liaison du fil ; les tensions s'éliminent.

1) La poulie idéale et la poulie pesante. Le fil exerce sur la poulie, en chacun des deux brins, une force tangente au disque, de bras de levier $R$ . Orientons l'axe de la poulie dans le sens où $m_{1}$ descend : le brin de $m_{1}$ a un moment $+ T_{1} R$ , celui de $m_{2}$ un moment $- T_{2} R$ . Le poids de la poulie et la réaction de l'axe passent par l'axe : moment nul. Le théorème scalaire du moment cinétique s'écrit $J θ ¨ = (T_{1} - T_{2}) R .$ Si $J = 0$ , il impose $T_{1} = T_{2}$ : une poulie sans masse transmet la tension sans la modifier, c'est l'hypothèse implicite de toutes les poulies du chapitre 2. Si $J \neq = 0$ , il faut un couple net pour mettre la poulie en rotation : les deux tensions diffèrent, et c'est cet écart qui entraîne la poulie.

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