La machine d'Atwood : quand la poulie n'est plus négligeable

Exercice · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide

Énoncé

Dans un puits, un treuil hisse une charge. On modélise par une machine d'Atwood : deux masses $m_{1} = 2, 0 kg$ et $m_{2} = 1, 5 kg$ pendent d'un fil inextensible sur une poulie. Cette poulie n'est pas idéale : c'est un disque homogène de masse $M = 1, 0 kg$ et de rayon $R = 5, 0 cm$ , et le fil ne glisse pas. On néglige le frottement sur l'axe.

Si la poulie était sans masse, les deux tensions seraient-elles égales ? Qu'est-ce qui change avec une inertie ?

Écrire le PFD pour chaque masse et le TMC pour la poulie. En déduire l'accélération $a$ .

Calculer $J$ puis $a$ . Comparer à l'accélération $a_{0}$ d'une poulie idéale.

Déterminer $T_{1}$ et $T_{2}$ et vérifier qu'elles diffèrent.

Corrigé

1. Poulie sans masse ( $J = 0$ ) : le TMC donne $(T_{1} - T_{2}) R = 0$ , tensions égales. Avec une inertie, il faut un couple net pour la faire tourner : $T_{1} \neq = T_{2}$ , et c'est cet écart qui l'entraîne.

2. On oriente le mouvement dans le sens où $m_{1}$ descend, $a$ l'accélération commune, $θ ¨ = a / R$ (sans glissement). PFD $m_{1}$ : $m_{1} g - T_{1} = m_{1} a$ . PFD $m_{2}$ : $T_{2} - m_{2} g = m_{2} a$ . TMC poulie ( $J = \frac{1}{2} M R^{2}$ ) : $J θ ¨ = (T_{1} - T_{2}) R$ , soit $T_{1} - T_{2} = \frac{J}{R ^{2}} a$ . En sommant :

$a = \frac{( m _{1} - m _{2} ) g}{m _{1} + m _{2} + \frac{J}{R ^{2}}}$

( $J / R^{2}$ agit comme une masse supplémentaire).

3. $J = \frac{1}{2} M R^{2} = 1, 25 \times 1 0^{- 3} kg m^{2}$ , $\frac{J}{R ^{2}} = \frac{1}{2} M = 0, 50 kg$ . $a = \frac{( 2 , 0 - 1 , 5 ) \times 9 , 81}{2 , 0 + 1 , 5 + 0 , 50} = \frac{4 , 9}{4 , 0} \approx 1, 2 m / s^{2}$ . Poulie idéale : $a_{0} = \frac{4 , 9}{3 , 5} \approx 1, 4 m / s^{2}$ : la poulie pesante ralentit le système ( $\approx 15 %$ ).

4. $T_{1} = m_{1} (g - a) \approx 17 N$ et $T_{2} = m_{2} (g + a) \approx 17 N$ ; plus précisément $T_{1} \approx 17, 2 N > T_{2} \approx 16, 5 N$ , l'écart $\approx 0, 6 N$ fournissant le couple qui fait tourner la poulie.

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