Le freinage de la meuleuse

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide

Énoncé

Sur un chantier, un ouvrier relâche la gâchette de sa meuleuse. Le disque (disque homogène, masse $M = 0, 40 kg$ , rayon $R = 0, 060 m$ ) tournait à $ω_{0} = 300 rad / s$ . Moteur coupé, les frottements des roulements exercent un couple résistant constant $M = 0, 018 Nm$ .

Calculer le moment d'inertie $J$ du disque.

Établir l'équation du mouvement et l'accélération angulaire $α$ .

Au bout de combien de temps le disque s'arrête-t-il ?

Combien de tours $N$ effectue-t-il pendant le freinage ?

Corrigé

1. $J = \frac{1}{2} M R^{2} = \frac{1}{2} \times 0, 40 \times 0, 06 0^{2} = 7, 2 \times 1 0^{- 4} kg m^{2}$ .

2. Seul le couple de frottement agit, opposé au mouvement : $J ω ˙ = - M$ , d'où $α = - \frac{M}{J} = - \frac{0 , 018}{7 , 2 \times 1 0 ^{- 4}} \approx - 25 rad / s^{2}$ . Couple constant, donc mouvement uniformément varié, $ω (t) = ω_{0} + α t$ .

3. Arrêt à $ω = 0$ : $t_{a} = - \frac{ω _{0}}{α} = \frac{300}{25} \approx 12 s$ .

4. $ω^{2} = ω_{0}^{2} + 2 α θ$ avec $ω = 0$ donne $θ = \frac{ω _{0}^{2}}{2∣ α ∣}$ , d'où $N = \frac{θ}{2 π} = \frac{30 0 ^{2}}{2 \times 25} \cdot \frac{1}{2 π} \approx 290 tours$ .

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