Le pendule de torsion et la méthode des deux périodes

Un solide (moment d'inertie $J$ par rapport à l'axe vertical $\Delta$) est suspendu à un fil de torsion vertical confondu avec $\Delta$. Quand le solide tourne d'un angle $\theta$ autour de $\Delta$, le fil exerce sur lui un couple de rappel de moment $-K\theta$, où $K$ est la constante de torsion du fil. On néglige tout frottement.

1) Montrer que le couple de rappel dérive d'une énergie potentielle ${\mathcal{E}}_p=\frac{1}{2}K{\theta }^2$, en calculant son travail entre $0$ et $\theta$.

2) Écrire l'énergie mécanique du solide et en déduire, par conservation, l'équation du mouvement. Retrouver la même équation par le théorème scalaire du moment cinétique. Quelle est la période $T$ des oscillations ? Dépend-elle de l'amplitude ?

3) On ne connaît ni $J$ ni $K$. On mesure la période $T_1$ du solide seul ; puis on fixe sur le solide deux petites masses ponctuelles $m$, à la distance $b$ de l'axe, de part et d'autre de celui-ci, et l'on mesure la nouvelle période $T_2$. Exprimer $J$ et $K$ en fonction de $T_1$, $T_2$, $m$ et $b$.

4) Application : $T_1=2,00\mathrm{s}$, $m=0,100\mathrm{kg}$, $b=0,10\mathrm{m}$, $T_2=2,50\mathrm{s}$. Calculer $J$ et $K$.

5) Pourquoi les masses doivent-elles être placées symétriquement ? Quelle mesure domine l'incertitude sur $J$ si $T_2$ est très proche de $T_1$ ?