Le volant d'inertie : freiner pour mieux accélérer

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide

Énoncé

En Formule 1, le système KERS récupère l'énergie du freinage en lançant un disque massif (le volant) à très haute vitesse, puis la restitue à l'accélération. Considérons un volant en acier modélisé par un disque homogène de masse $M = 5, 0 kg$ et de rayon $R = 0, 10 m$ , mis en rotation autour de son axe à $N = 40000$ tr/min.

Pourquoi cherche-t-on à faire tourner le volant le plus vite possible plutôt qu'à le rendre simplement plus lourd ?

Exprimer le moment d'inertie $J$ du disque, puis l'énergie cinétique de rotation $E_{c}$ en fonction de $M$ , $R$ , $ω$ .

Calculer $ω$ , $J$ puis $E_{c}$ .

Une monoplace de masse $m = 800 kg$ roule à $v = 20 m / s$ . Comparer $E_{c}$ à son énergie de translation. Le volant peut-il fournir un « boost » significatif ?

Corrigé

1. L'énergie stockée $E_{c} = \frac{1}{2} J ω^{2}$ croît linéairement avec la masse (via $J$ ) mais comme le carré de $ω$ : doubler $ω$ quadruple l'énergie, doubler $M$ ne fait que la doubler. À masse embarquée limitée (crucial en F1), on privilégie une très grande vitesse de rotation.

2. Disque homogène : $J = \frac{1}{2} M R^{2}$ , d'où $E_{c} = \frac{1}{2} J ω^{2} = \frac{1}{4} M R^{2} ω^{2}$ .

3. $ω = \frac{2 π N}{60} = \frac{2 π \times 40000}{60} \approx 4, 2 \times 1 0^{3} rad / s$ . $J = \frac{1}{2} \times 5, 0 \times 0, 1 0^{2} = 2, 5 \times 1 0^{- 2} kg m^{2}$ . $E_{c} = \frac{1}{2} \times 2, 5 \times 1 0^{- 2} \times (4, 2 \times 1 0^{3})^{2} \approx 2, 2 \times 1 0^{5} J$ ( $\approx 220 kJ$ ).

4. $E_{c, trans} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} \times 800 \times 2 0^{2} = 160 kJ$ . Comme $E_{c} \approx 220 kJ > 160 kJ$ , le volant emmagasine plus que l'énergie nécessaire pour relancer la voiture de $0$ à $20 m / s$ : le boost est bel et bien significatif.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.