Le volant d'inertie (KERS)

En Formule 1, un système de récupération d'énergie au freinage peut lancer un volant à très haute vitesse, puis restituer l'énergie à l'accélération. On considère un volant en acier, disque homogène de masse $M=5,0\mathrm{kg}$ et de rayon $R=0,10\mathrm{m}$, de moment d'inertie $J=\frac{1}{2}M{R}^2$ par rapport à son axe, tournant à $N=40000$ tours par minute.

1) Calculer la vitesse angulaire $\omega$, le moment d'inertie $J$, l'énergie cinétique stockée ${\mathcal{E}}_c$ et la vitesse $v_{\text{j}}$ d'un point de la jante. En déduire l'énergie stockée par kilogramme de volant.

2) Une monoplace de masse $m=800\mathrm{kg}$ roule à $v=20\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Comparer son énergie cinétique à celle du volant.

3) À masse et rayon donnés, quelle répartition de la masse stocke le plus d'énergie à vitesse angulaire donnée ? Comparer le disque et l'anneau mince ($J=M{R}^2$).

4) Montrer que l'énergie massique d'un volant s'écrit ${\mathcal{E}}_c/M=\kappa v_{\text{j}}^2$, avec $\kappa =\frac{1}{4}$ pour le disque et $\kappa =\frac{1}{2}$ pour l'anneau. Pourquoi cherche-t-on à faire tourner le volant vite plutôt qu'à l'alourdir ?

5) La vitesse de jante est limitée par la tenue du matériau : on admet que, dans un anneau mince tournant à la vitesse de jante $v_{\text{j}}$, la contrainte de traction vaut $\sigma =\rho v_{\text{j}}^2$, où $\rho$ est la masse volumique. Pour un acier ($\rho =7800\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, ${\sigma }_{\text{max}}=1,0\mathrm{GPa}$) puis pour un composite à fibres de carbone ($\rho =1600\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, ${\sigma }_{\text{max}}=2,0\mathrm{GPa}$), calculer l'énergie massique maximale d'un anneau. Comparer à une batterie lithium-ion ($\approx 7\times 10^5\mathrm{J}\mathrm{k}{\mathrm{g}}^{-1}$) et conclure.