Le yo-yo qui défie la chute libre

Exercice · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide

Énoncé

Un enfant laisse filer un yo-yo : un disque homogène de masse $m = 0, 050 kg$ et de rayon $R = 0, 030 m$ descend en déroulant un fil enroulé au bord (rayon $R$ ). Le fil reste vertical et ne glisse pas. Le yo-yo tombe nettement moins vite qu'en chute libre.

Appliquer le PFD au centre de masse (projection verticale).

Appliquer le TMC au disque autour de son axe.

Avec la condition de roulement $a = R ω ˙$ , montrer que $a = \frac{g}{1 + J / ( m R ^{2} )}$ et le calculer.

Calculer la tension $T$ du fil.

Corrigé

1. Axe vertical vers le bas : $ma = m g - T$ . (1)

2. Seule la tension a un moment (bras $R$ ) : $J ω ˙ = T R$ . (2)

3. Sans glissement, $ω ˙ = a / R$ , donc $(2)$ donne $T = \frac{J a}{R ^{2}}$ ; reporté dans $(1)$ : $a (1 + \frac{J}{m R ^{2}}) = g$ , soit $a = \frac{g}{1 + J / ( m R ^{2} )}$ . Pour un disque $J = \frac{1}{2} m R^{2}$ : $a = \frac{g}{1 + \frac{1}{2}} = \frac{2}{3} g \approx 6, 5 m / s^{2}$ .

4. $T = m (g - a) = \frac{m g}{3} = \frac{0 , 050 \times 9 , 81}{3} \approx 0, 16 N$ .

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