Non-isochronisme et « erreur circulaire » d'une horloge

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide · D. Le pendule pesant

Énoncé

On reprend le pendule pesant, $θ ¨ + ω_{0}^{2} sin θ = 0$ , avec $ω_{0} = 2, 0 rad s^{- 1}$ et $T_{0} = 2 π / ω_{0}$ , lâché sans vitesse depuis l'amplitude $θ_{0}$ .

1) Capacité numérique. Écrire un script Python qui intègre l'équation du mouvement et mesure la période $T (θ_{0})$ en détectant les passages successifs de $θ$ par zéro dans le même sens. Calculer $T / T_{0}$ pour $θ_{0} = 5^{\circ}$ , $0, 5$ , $1$ , $2$ et $3 rad$ .

2) Comparer à la formule de Borda, $T ≃ T_{0} (1 + θ_{0}^{2} /16)$ , établie au chapitre 3. Jusqu'où est-elle fiable ? Que devient $T$ quand $θ_{0} \to π$ ?

3) Une horloge à balancier est réglée pour battre juste quand l'amplitude vaut $5^{\circ}$ . En s'encrassant, l'amplitude tombe à $4^{\circ}$ . L'horloge avance-t-elle ou retarde-t-elle ? De combien de secondes par jour ?

4) On ajoute un frottement visqueux de moment $- λ θ ˙$ , avec $λ / J_{Δ} = 0, 10 s^{- 1}$ . Montrer que $\frac{d E _{m}}{d t} = - λ θ ˙^{2}$ . Modifier le script pour suivre l'énergie mécanique et commenter sa décroissance.

Corrigé

La stratégie. On intègre numériquement avec une grande précision et l'on repère les instants où $θ$ s'annule en décroissant ; leur écart est la période. On vérifie ainsi la formule de Borda du chapitre 3 et l'on mesure son domaine de validité.

1) Le script. On écrit le système du premier ordre $(θ, ω)$ , et l'on utilise la détection d'événements de solve_ivp : la fonction passage s'annule quand $θ = 0$ , et direction = -1 ne retient que les passages où $θ$ décroît, un par période.

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

w0 = 2.0                  # pulsation propre (rad/s)
T0 = 2*np.pi/w0

def champ(t, Y):
    theta, omega = Y
    return [omega, -w0**2*np.sin(theta)]

def passage(t, Y):        # theta = 0, en decroissant
    return Y[0]
passage.direction = -1

def periode(th0):
    sol = solve_ivp(champ, (0, 10*T0), [th0, 0.0],
                    events=passage, rtol=1e-11, atol=1e-12)
    tp = sol.t_events[0]  # un passage par periode
    return np.mean(np.diff(tp))

for th0 in (np.radians(5), 0.5, 1.0, 2.0, 3.0):
    r = periode(th0)/T0
    print(f"{th0:.3f} rad  T/T0 = {r:.5f}  Borda = {1+th0**2/16:.5f}")

Le script affiche :

0.087 rad  T/T0 = 1.00048  Borda = 1.00048
0.500 rad  T/T0 = 1.01585  Borda = 1.01562
1.000 rad  T/T0 = 1.06633  Borda = 1.06250
2.000 rad  T/T0 = 1.32890  Borda = 1.25000
3.000 rad  T/T0 = 2.57123  Borda = 1.56250

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