Pendule pesant : de l'oscillation à la révolution

Exercice de TD · niveau 2 · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide · D. Le pendule pesant

Énoncé

Un pendule pesant de masse $m$ , de moment d'inertie $J_{Δ}$ par rapport à son axe horizontal fixe $Δ$ , a son centre de masse $G$ à la distance $d$ de l'axe ; $θ$ est l'angle entre $O G$ et la verticale descendante. La liaison pivot est parfaite. On pose $ω_{0}^{2} = m g d / J_{Δ}$ .

1) Établir l'intégrale première du mouvement sous la forme $θ ˙^{2} = θ ˙_{0}^{2} - 2 ω_{0}^{2} (1 - cos θ)$ , où $θ ˙_{0}$ est la vitesse angulaire au passage par $θ = 0$ .

2) Le pendule est lâché sans vitesse depuis l'horizontale ( $θ = π /2$ ). Calculer sa vitesse angulaire au passage par la verticale.

3) Montrer que le pendule effectue des oscillations si $θ ˙_{0} < 2 ω_{0}$ et des révolutions (il fait des tours complets) si $θ ˙_{0} > 2 ω_{0}$ . Donner l'amplitude des oscillations en fonction de $θ ˙_{0}$ .

4) Tracer l'allure du portrait de phase, dans le plan $(θ, θ ˙)$ : trajectoires fermées, trajectoires ouvertes, et la séparatrice $θ ˙_{0} = 2 ω_{0}$ , dont on donnera l'équation $θ ˙ = \pm 2 ω_{0} cos (θ /2)$ .

5) Sur la séparatrice, le pendule atteint-il la position haute ? Montrer, en étudiant le mouvement au voisinage de $θ = π$ , que la durée nécessaire est infinie.

6) Application : tige homogène de longueur $L = 1, 00 m$ suspendue par une extrémité, $J_{Δ} = \frac{1}{3} m L^{2}$ , $d = L /2$ , $g = 9, 81 m s^{- 2}$ . Calculer $ω_{0}$ , le seuil de révolution et la vitesse correspondante de l'extrémité libre.

Corrigé

La stratégie. On ne résout pas l'équation non linéaire : on en tire une intégrale première, qui relie $θ ˙$ à $θ$ et suffit à classer tous les mouvements.

1) L'intégrale première. Le théorème scalaire du moment cinétique donne $J_{Δ} θ ¨ = - m g d sin θ$ (le poids, de bras de levier $d sin θ$ , est un moment de rappel ; la liaison parfaite a un moment nul). On multiplie par $θ ˙$ : $J_{Δ} θ ˙ θ ¨ + m g d θ ˙ sin θ = 0 ⟺ \frac{d}{d t} [\frac{1}{2} J_{Δ} θ ˙^{2} + m g d (1 - cos θ)] = 0.$ La quantité entre crochets est l'énergie mécanique, somme de l'énergie cinétique de rotation et de l'énergie potentielle de pesanteur (l'altitude de $G$ est $- d cos θ$ , à une constante près). En divisant par $\frac{1}{2} J_{Δ}$ et en évaluant la constante en $θ = 0$ : $θ ˙^{2} = θ ˙_{0}^{2} - 2 ω_{0}^{2} (1 - cos θ) .$

2) Lâché à l'horizontale. $θ ˙ = 0$ en $θ = π /2$ impose $θ ˙_{0}^{2} = 2 ω_{0}^{2} (1 - cos \frac{π}{2}) = 2 ω_{0}^{2}$ , d'où $θ ˙_{0} = 2 ω_{0} = \frac{2 m g d}{J _{Δ}} .$

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