Problème : le pendule réversible de Kater

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mécanique (MPSI), chapitre 8 — Mouvement d'un solide · D. Le pendule pesant

Énoncé

Un pendule pesant est un solide de masse $m$ , mobile sans frottement autour d'un axe horizontal fixe $Δ$ situé à la distance $d$ de son centre de masse $G$ ; on repère sa position par l'angle $θ$ entre $O G$ et la verticale descendante, $O$ étant le pied de la perpendiculaire abaissée de $G$ sur l'axe. On fournit son moment d'inertie par rapport à $Δ$ : $J_{Δ} = m (k^{2} + d^{2}),$ où $k$ , le rayon de giration, ne dépend que de la répartition des masses autour de $G$ (théorème de Huygens, admis). Données : $g = 9, 81 m s^{- 2}$ ; pour une tige homogène de longueur $L$ , $k = L / 12$ .

1) Établir l'équation du mouvement par le théorème scalaire du moment cinétique, puis la période $T$ des petites oscillations.

2) Montrer que $T (d) = 2 π ℓ_{e ˊ q} (d) / g$ avec $ℓ_{e ˊ q} (d) = d + \frac{k ^{2}}{d}$ : c'est la longueur du pendule simple de même période. Vérifier l'homogénéité et retrouver le pendule simple pour $k \to 0$ .

3) Étudier les variations de $T (d)$ pour $d > 0$ ; montrer qu'elle passe par un minimum en $d = k$ , et le calculer pour une tige de longueur $L = 1, 00 m$ . Pourquoi une horloge dont l'axe est placé en $d = k$ est-elle peu sensible à un petit déplacement de l'axe ?

4) Montrer que deux distances $d_{1} \neq = d_{2}$ donnent la même période si et seulement si $d_{1} d_{2} = k^{2}$ , et qu'alors $T = 2 π (d_{1} + d_{2}) / g$ . Application : tige de $1, 00 m$ , $d_{1} = 0, 200 m$ ; calculer $d_{2}$ et $T$ .

5) Le pendule de Kater porte deux couteaux fixes, de part et d'autre de $G$ , et une masse que l'on déplace jusqu'à obtenir la même période autour des deux couteaux. Expliquer comment on obtient $g$ sans connaître ni $J_{Δ}$ , ni la position de $G$ . Pour l'exemple du 4), on mesure la distance entre couteaux à $0, 5 mm$ près et la durée de $100$ oscillations à $0, 02 s$ près : estimer l'incertitude relative sur $g$ . Quel terme domine ?

6) Vérification : pour la tige suspendue par une extrémité ( $d = L /2$ ), retrouver $T = 2 π 2 L / (3 g)$ et la calculer pour $L = 1, 00 m$ . Énoncer le principe établi.

Corrigé

1) Équation du mouvement et période. Le système est le pendule, solide en rotation autour de l'axe fixe $Δ$ dans le référentiel terrestre, supposé galiléen. Les actions extérieures sont le poids, appliqué en $G$ , et l'action de l'axe, de moment nul par rapport à $Δ$ (liaison pivot sans frottement). Le bras de levier du poids est $d sin θ$ , et son moment tend à ramener $θ$ vers $0$ : il vaut $- m g d sin θ$ . Le théorème scalaire du moment cinétique donne $J_{Δ} θ ¨ = - m g d sin θ .$ Pour les petites oscillations, $sin θ ≃ θ$ , et l'équation est celle d'un oscillateur harmonique, $θ ¨ + \frac{m g d}{J _{Δ}} θ = 0$ , de période $T = 2 π \frac{J _{Δ}}{m g d} .$

2) La longueur synchrone. En remplaçant $J_{Δ}$ par sa valeur : $T = 2 π \frac{m ( k ^{2} + d ^{2} )}{m g d} = 2 π \frac{1}{g} (d + \frac{k ^{2}}{d}) = 2 π \frac{ℓ _{e ˊ q} ( d )}{g} .$ La masse a disparu. Un pendule simple de longueur $ℓ$ a la période $2 π ℓ / g$ : le pendule pesant a donc la même période que le pendule simple de longueur $ℓ_{e ˊ q} = d + k^{2} / d$ , qu'on appelle la longueur du pendule simple synchrone. Homogénéité : $k$ et $d$ sont des longueurs, $k^{2} / d$ aussi, et $ℓ_{e ˊ q} / g$ est en $s^{2}$ . Cas limite : si $k \to 0$ , toute la masse est concentrée en $G$ , $J_{Δ} \to m d^{2}$ , et $ℓ_{e ˊ q} \to d$ : on retrouve le pendule simple de longueur $d$ . Pour $k \neq = 0$ , $ℓ_{e ˊ q} > d$ .

3) Le minimum de la période. $T$ varie comme $ℓ_{e ˊ q}$ , donc dans le même sens que $ℓ_{e ˊ q}$ . Étudions $f (d) = d + k^{2} / d$ sur $] 0, + \infty [$ : $f^{'} (d) = 1 - \frac{k ^{2}}{d ^{2}} = \frac{( d - k ) ( d + k )}{d ^{2}},$ négative pour $d < k$ , nulle en $d = k$ , positive pour $d > k$ . La fonction $f$ , donc $T$ , décroît puis croît, avec un minimum en $d = k$ , où $f (k) = 2 k$ . Quand $d \to 0$ , $f \to + \infty$ : un axe passant presque par $G$ ne donne presque aucun rappel ; quand $d \to + \infty$ , $f (d) \sim d$ : le pendule simple. Le minimum vaut $T_{min} = 2 π \frac{2 k}{g} .$ Pour la tige de $1, 00 m$ : $k = 1, 00/ 12 \approx 0, 289 m$ , et $T_{min} = 2 π 2 \times 0, 289/9, 81 \approx 1, 52 s$ , obtenue avec un axe à $28, 9 cm$ du milieu de la tige.

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