La barque et le pêcheur

La stratégie. On ne connaît pas la force que les pieds du pêcheur exercent sur la barque — elle varie à chaque pas. On n'en a pas besoin : c'est une force intérieure au système {pêcheur + barque}, que la troisième loi fait disparaître du bilan.

a) Quantité de mouvement et centre de masse. Par définition, $\overrightarrow{p}=m{\overrightarrow{v}}_P+M{\overrightarrow{v}}_B$. Le point $O$ étant fixe dans le référentiel, on dérive par rapport au temps la relation de définition de $G$ ; les masses sont constantes (système fermé : personne ne monte ni ne descend) : $$(m+M)\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OG}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OP}}{\mathrm{d}t}+M\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{OB}}{\mathrm{d}t},\text{soit}(m+M){\overrightarrow{v}}_G=m{\overrightarrow{v}}_P+M{\overrightarrow{v}}_B=\overrightarrow{p}.$$ La quantité de mouvement du système est celle d'un point fictif placé en $G$ et portant toute la masse.

b) Seules les forces extérieures comptent. Faisons le bilan sur chaque point. Le pêcheur subit son poids $m\overrightarrow{g}$ et la force ${\overrightarrow{F}}_{B\to P}$ exercée par la barque (réaction du plancher, verticale et horizontale). La barque subit son poids $M\overrightarrow{g}$, la poussée de l'eau (verticale, puisqu'on néglige toute action horizontale de l'eau) et la force ${\overrightarrow{F}}_{P\to B}$ exercée par le pêcheur. La deuxième loi, appliquée à chacun des deux points dans le référentiel galiléen, donne $$m\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_P}{\mathrm{d}t}=m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{B\to P},M\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{v}}_B}{\mathrm{d}t}=M\overrightarrow{g}+\overrightarrow{\Pi }+{\overrightarrow{F}}_{P\to B},$$ où $\overrightarrow{\Pi }$ est la poussée de l'eau. En additionnant : $$\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}}{\mathrm{d}t}=(m+M)\overrightarrow{g}+\overrightarrow{\Pi }+({\overrightarrow{F}}_{B\to P}+{\overrightarrow{F}}_{P\to B}).$$ Or, d'après la troisième loi, ${\overrightarrow{F}}_{P\to B}=-{\overrightarrow{F}}_{B\to P}$ : la parenthèse est nulle. Il reste $\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}}{\mathrm{d}t}=(m+M)\overrightarrow{g}+\overrightarrow{\Pi }$, qui ne contient que des forces extérieures. Toutes sont verticales. Donc, en projetant sur un axe horizontal $Ox$ (le long de la barque, orienté de l'arrière vers l'avant), $\frac{\mathrm{d}{p}_x}{\mathrm{d}t}=0$ : la composante horizontale de $\overrightarrow{p}$ se conserve. Le système est pseudo-isolé horizontalement.

À l'instant initial tout est immobile : $p_x=0$, donc $p_x=0$ à tout instant, c'est-à-dire, d'après a), ${\dot{x}}_G=0$. L'abscisse de $G$ reste constante, quoi que fasse le pêcheur.

c) Le recul de la barque. Notons $\Delta x_P$ et $\Delta x_B$ les déplacements du pêcheur et de la barque par rapport au rivage, entre l'état initial et l'état final. Deux relations les lient.

• La constance de $x_G$ : $m\Delta x_P+M\Delta x_B=0$.
• La cinématique : le pêcheur a parcouru $L$ par rapport à la barque, donc $\Delta x_P-\Delta x_B=L$.

On résout ce système de deux équations à deux inconnues : en substituant $\Delta x_P=L+\Delta x_B$ dans la première, $(m+M)\Delta x_B=-mL$, d'où $$\Delta x_B=-\frac{m}{m+M}L,\Delta x_P=\frac{M}{m+M}L.$$ Numériquement : $\Delta x_B=-\frac{80}{200}\times 4,0=-1,6$ m et $\Delta x_P=+2,4$ m. La barque recule de $1,6$ m (vers l'arrière, en sens inverse de la marche) pendant que le pêcheur n'avance que de $2,4$ m par rapport au rivage.

Homogénéité. $\frac{m}{m+M}$ est sans dimension : $\Delta x_B$ est bien une longueur.

d) Cas limites et indépendance vis-à-vis de la marche. Si $M\to +\infty$ (un paquebot, ou un quai), $\Delta x_B\to 0$ et $\Delta x_P\to L$ : la barque ne bouge pas et le pêcheur avance de $L$, comme sur la terre ferme. Si $M\to 0$ (une barque de masse négligeable), $\Delta x_B\to -L$ et $\Delta x_P\to 0$ : le pêcheur fait du sur-place et c'est la barque qui glisse sous ses pieds.

Le résultat ne dépend ni de la vitesse ni de l'histoire de la marche : seule a servi la conservation de $x_G$, vraie à chaque instant.

Ce que l'exercice installe. Le choix du système : en prenant {pêcheur + barque}, l'inconnue gênante devient intérieure. La troisième loi comme outil de calcul : c'est elle qui fait disparaître les forces intérieures du bilan. Et la conservation comme alternative à la résolution : on n'a écrit aucune équation du mouvement, seulement ce qui ne change pas — la même idée fait reculer un fusil ou avancer une fusée.