La luge sur la piste

1. Trois forces agissent : le poids $m\overrightarrow{g}$ (vertical, vers le bas), la réaction normale $\overrightarrow{N}$ (perpendiculaire à la pente) et la force de frottement solide $\overrightarrow{f}$ (le long de la pente, opposée au mouvement donc dirigée vers le haut de la pente). En projetant sur l'axe perpendiculaire à la pente, où l'accélération est nulle :

$$N=mg\cos \alpha .$$

2. La luge glissant, le frottement vaut $f=\mu N=\mu mg\cos \alpha$. On projette le PFD sur l'axe de la pente, orienté vers le bas (sens du mouvement) :

$$ma=mg\sin \alpha -\mu mg\cos \alpha ⟹\boxed{a=g(\sin \alpha -\mu \cos \alpha )}.$$

La masse se simplifie : l'accélération n'en dépend pas.

3. Sans frottement, $a_0=g\sin \alpha$. Avec $g=9,81\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ et $\alpha =20^{\circ }$ ($\sin 20^{\circ }\approx 0,342$, $\cos 20^{\circ }\approx 0,940$) :

$$a_0=9,81\times 0,342\approx 3,4\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2,$$

$$a=9,81(0,342-0,15\times 0,940)=9,81(0,342-0,141)\approx 1.97\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2.$$

Le frottement réduit l'accélération de près de $40\%$ : la luge descend nettement moins vite.

4. Mouvement uniformément accéléré sans vitesse initiale sur la distance $L$ : $v^2=2aL$, donc $v=\sqrt{2aL}$. Avec $a\approx 1.97\mathrm{m}/{\mathrm{s}}^2$ et $L=40\mathrm{m}$ :

$$v=\sqrt{2\times 1,97\times 40}\approx 12.6\mathrm{m}/\mathrm{s}\approx \boxed{45\mathrm{km}/\mathrm{h}}.$$