La tyrolienne du parc accrobranche — exercice corrigé de mécanique (PCSI) (chapitre 2)

La tyrolienne du parc accrobranche

Dynamique du point : les lois de Newton · niveau 2

Énoncé

Dans un parc accrobranche, Léa, qui pèse $40 kg$ avec son harnais, s'élance sur une tyrolienne de $30 m$ de long inclinée d'un angle $α = 1 5^{\circ}$ par rapport à l'horizontale. Une poulie la relie au câble. On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Sans calcul, indiquer quelles forces s'exercent sur Léa pendant la descente. Arrivera-t-elle plus vite en bas si l'angle $α$ est plus grand ?
On néglige d'abord les frottements. Établir l'expression littérale de l'accélération $a$ de Léa le long du câble en projetant le principe fondamental de la dynamique.
Calculer cette accélération, puis la vitesse $v$ atteinte en bas du câble (départ sans vitesse initiale).
En réalité, on mesure une vitesse d'arrivée de $7, 0 m / s$ . Que peut-on en conclure sur les frottements de la poulie ?

Corrigé

1. Léa subit son poids $P$ (vertical, vers le bas) et la réaction $N$ du câble (perpendiculaire au câble via la poulie). Plus l'angle $α$ est grand, plus la pente est raide : on s'attend à une descente plus rapide.

2. On projette le PFD $m a = P + N$ sur un axe $(O x)$ orienté vers le bas le long du câble. La réaction $N$ étant perpendiculaire au câble, elle n'a pas de composante sur $(O x)$ . Le poids s'y projette en $P sin α = m g sin α$ . D'où : $ma = m g sin α ⟹ a = g sin α$ L'accélération ne dépend pas de la masse.

3. Numériquement : $a = 9, 81 \times sin (1 5^{\circ}) = 2, 5 m / s^{2}$ . Le mouvement étant uniformément accéléré sur la longueur $L = 30 m$ , on utilise $v^{2} = 2 a L$ (départ sans vitesse) : $v = 2 a L = 2 \times 2, 5 \times 30 \approx 12 m / s (\approx 44 km / h) .$

4. La vitesse réelle ( $7, 0 m / s$ ) est bien inférieure à la valeur idéale ( $12 m / s$ ) : les frottements de la poulie et la résistance de l'air ne sont pas négligeables. Ils dissipent une partie de l'énergie et limitent la vitesse — heureusement, sinon l'arrivée serait brutale !

Important

Ce que ça nous apprend. Sur un plan incliné sans frottement, l'accélération $g sin α$ ne dépend pas de la masse : un enfant et un adulte arriveraient à la même vitesse. Ce sont les frottements, volontairement entretenus par la poulie, qui rendent la tyrolienne sûre.