Le pendule conique et le régulateur de Watt

La stratégie. Le mouvement est connu (circulaire uniforme) ; l'accélération l'est donc aussi. Deux inconnues : la tension $T$ et l'angle $\alpha$. On projette sur les deux directions où l'on connaît l'accélération : la verticale, où elle est nulle, et le rayon, où elle vaut $-R{\omega }^2$.

a) La cinématique. Le centre $C$ du cercle est à la verticale de $O$ ; le rayon vaut $R=\ell \sin \alpha$. En coordonnées cylindriques d'axe $(OC)$, $r=R$ et $z$ sont constants, $\dot{\theta }=\omega$ constant : le cours de cinématique donne $\overrightarrow{a}=-R{\omega }^2{\overrightarrow{u}}_r$, accélération centripète, horizontale.

b) La dynamique. Bilan : le poids $m\overrightarrow{g}$, vertical vers le bas, et la tension $\overrightarrow{T}$, dirigée de $M$ vers $O$, de norme $T$ inconnue. Le fil faisant l'angle $\alpha$ avec la verticale, $\overrightarrow{T}=-T\sin \alpha {\overrightarrow{u}}_r+T\cos \alpha {\overrightarrow{u}}_z$ (${\overrightarrow{u}}_z$ vers le haut). Deuxième loi : $$\text{sur }{\overrightarrow{u}}_z:T\cos \alpha -mg=0,\text{sur }{\overrightarrow{u}}_r:-T\sin \alpha =-mR{\omega }^2=-m\ell \sin \alpha {\omega }^2.$$ Si $\alpha \ne 0$, on simplifie la seconde par $\sin \alpha$ : $T=m\ell {\omega }^2$. En reportant dans la première : $$\cos \alpha =\frac{mg}{T}=\frac{g}{\ell {\omega }^2}.$$ La masse a disparu : l'angle ne dépend que de $\omega$, $\ell$ et $g$.

Le point délicat. La simplification par $\sin \alpha$ suppose $\alpha \ne 0$. Le cas $\alpha =0$ (boule sur l'axe, fil vertical, $R=0$) est toujours solution : la seconde équation devient $0=0$, et la première donne $T=mg$. Il ne faut pas perdre cette solution en divisant.

c) Le seuil. La relation $\cos \alpha =\frac{g}{\ell {\omega }^2}$ n'a de solution $\alpha \in ]0,\pi /2[$ que si $\frac{g}{\ell {\omega }^2}<1$, c'est-à-dire $$\omega >{\omega }_0=\sqrt{\frac{g}{\ell }}.$$ Pour $\omega \le {\omega }_0$, la seule solution est $\alpha =0$ : le fil reste vertical, la boule tourne sur elle-même sur l'axe. Au-delà du seuil, apparaît une solution conique, avec un angle qui croît avec $\omega$ ; quand $\omega \to +\infty$, $\cos \alpha \to 0$ et $\alpha \to 90^{\circ }$ sans l'atteindre : la composante verticale de la tension doit toujours équilibrer le poids, $T\cos \alpha =mg>0$, donc le fil ne peut pas être horizontal. Ce changement qualitatif de comportement au passage d'une valeur seuil d'un paramètre s'appelle une bifurcation.

d) Ordres de grandeur. ${\omega }_0=\sqrt{9,81/0,80}\approx 3,50\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$. Pour $\omega =4,0\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ : $\cos \alpha =\frac{9,81}{0,80\times 16}\approx 0,766$, $\alpha \approx 40,0^{\circ }$, $R=\ell \sin \alpha \approx 0,51$ m, $T=0,20\times 0,80\times 16=2,56$ N, à comparer au poids $mg=1,96$ N : $T/mg=\ell {\omega }^2/g\approx 1,3$. Juste au-dessus du seuil, le fil supporte déjà $30\%$ de plus que le poids.

La hauteur du cône est $H=\ell \cos \alpha =\frac{g}{{\omega }^2}$, d'où $\omega =\sqrt{g/H}$ et la période de révolution $$T_{\text{reˊv}}=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{H}{g}}$$ ne dépend que de $H$ : ni de la masse, ni de la longueur du fil. Ici $H=9,81/16\approx 0,61$ m et $T_{\text{reˊv}}\approx 1,57$ s.

e) Le régulateur de Watt. Si la machine s'emballe, l'arbre tourne plus vite, $\omega$ augmente, donc $\cos \alpha =g/(\ell {\omega }^2)$ diminue : les boules s'écartent et montent. En montant, elles soulèvent la bague qui ferme la vanne : moins de vapeur, la machine ralentit. La relation $H=g/{\omega }^2$ fait de la hauteur des boules un capteur de vitesse ; le dispositif est l'ancêtre de toutes les régulations par rétroaction.

Ce que l'exercice installe. Quand le mouvement est imposé, la deuxième loi sert à calculer les forces de liaison. Et l'on ne divise jamais par une quantité qui peut s'annuler sans examiner le cas où elle s'annule : c'est là que se cache la solution triviale, et avec elle la bifurcation.