Le virage relevé

a) L'accélération. Mouvement circulaire uniforme de rayon $R$ : d'après le chapitre de cinématique, l'accélération est centripète, $\overrightarrow{a}=-\frac{v^2}{R}{\overrightarrow{u}}_r$, horizontale (le virage est dans un plan horizontal), dirigée vers le centre du virage, de norme $v^2/R$.

b) Projeter sur les axes de la chaussée. Bilan des forces : le poids $m\overrightarrow{g}$, vertical ; la réaction normale $\overrightarrow{N}$, perpendiculaire à la chaussée ; la force latérale $\overrightarrow{f}$, le long de la chaussée. Deux inconnues, $N$ et $f$. Chacune est perpendiculaire à l'un des deux axes liés à la chaussée : en projetant sur l'axe parallèle à la chaussée, $N$ disparaît ; en projetant sur l'axe perpendiculaire, $f$ disparaît. Chaque projection donne directement une inconnue, sans système à résoudre. C'est cela, une projection judicieuse.

Il faut alors projeter aussi l'accélération, qui est horizontale, et le poids, qui est vertical, sur ces axes inclinés de $\beta$.

• Axe parallèle à la chaussée, orienté vers le bas de la pente (vers l'intérieur). L'accélération centripète, horizontale vers l'intérieur, fait l'angle $\beta$ avec cet axe : sa projection vaut $\frac{v^2}{R}\cos \beta$. Le poids se projette en $+mg\sin \beta$ (il tire vers le bas de la pente). La force $f$ se projette en $+f$, $N$ en $0$. D'où $$m\frac{v^2}{R}\cos \beta =mg\sin \beta +f⟹f=m(\frac{v^2}{R}\cos \beta -g\sin \beta ).$$
• Axe perpendiculaire à la chaussée, orienté vers le haut (sortant de la route). L'accélération se projette en $\frac{v^2}{R}\sin \beta$ (la normale à la chaussée penche vers l'intérieur du virage), le poids en $-mg\cos \beta$, $N$ en $+N$, $f$ en $0$. D'où $$m\frac{v^2}{R}\sin \beta =N-mg\cos \beta ⟹N=m(\frac{v^2}{R}\sin \beta +g\cos \beta ).$$

Vérification par les cas limites. Pour $\beta =0$ (route plane) : $f=m{v}^2/R$ et $N=mg$ — toute la force centripète vient des pneus, la réaction normale équilibre le poids. Pour $v=0$ (véhicule à l'arrêt dans le virage relevé) : $f=-mg\sin \beta$ (force vers le haut de la pente, qui empêche de glisser vers l'intérieur) et $N=mg\cos \beta$ : on retrouve le bloc posé sur un plan incliné. Homogénéité : $v^2/R$ et $g$ sont deux accélérations, $f$ et $N$ sont bien des forces.

c) La vitesse de référence. La force latérale est nulle si et seulement si $\frac{v^2}{R}\cos \beta =g\sin \beta$, c'est-à-dire $$\tan \beta =\frac{v_0^2}{gR},v_0=\sqrt{gR\tan \beta }.$$ À cette vitesse, la réaction normale fournit à elle seule la force centripète (avec le poids) : la voiture tiendrait le virage sur du verglas. C'est la raison d'être du devers. La masse n'intervient pas : la vitesse de référence est la même pour une moto et un camion.

d) Le vélodrome. $v_0=\sqrt{9,81\times 25\times \tan 42^{\circ }}\approx 14,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 53,5\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ : c'est l'ordre de grandeur des vitesses de course sur piste, ce qui justifie l'inclinaison spectaculaire des vélodromes.

Le rapport des deux composantes s'écrit, en divisant numérateur et dénominateur par $mg\cos \beta$ : $$\frac{f}{N}=\frac{\frac{v^2}{gR}-\tan \beta }{1+\frac{v^2}{gR}\tan \beta }.$$

• À $30\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ ($v=8,33\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $v^2/(gR)=0,283$, $\tan \beta =0,900$) : $f/N\approx -0,49$. Le signe moins signifie que la force latérale est dirigée vers le haut de la pente : trop lent, le cycliste tend à glisser vers l'intérieur, et ses pneus doivent le retenir avec près de la moitié de la réaction normale.
• À $70\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ : $f/N\approx +0,27$, force latérale vers le bas de la pente : trop rapide, le cycliste tend à monter vers l'extérieur, et ses pneus doivent fournir le complément de force centripète.

e) La bretelle d'autoroute. $v=25\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $v^2/(gR)=\frac{625}{9,81\times 200}\approx 0,32$ : le devers idéal vaudrait $\beta \approx 17,7^{\circ }$. C'est irréaliste : à l'arrêt sur verglas, le b) avec $v=0$ montre qu'il faudrait une force latérale égale à $\tan 17,7^{\circ }\approx 32\%$ de $N$ pour ne pas glisser vers l'intérieur. Les routes ont donc des devers de quelques degrés et comptent sur l'adhérence : sur route plane, $f/N=v^2/(gR)\approx 0,32$, ce que fournit sans peine un pneu sur route sèche, et ce qui devient critique sur route mouillée.

Ce que l'exercice installe. On projette sur un axe perpendiculaire à l'inconnue qu'on veut éliminer : le geste reviendra pour le pendule (projection sur ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$), le plan incliné, toutes les liaisons. Et la « force centrifuge » n'existe pas dans le référentiel terrestre : les forces réelles doivent fournir l'accélération centripète.