Pourquoi la souris survit

a) L'équation. $\rho$ est en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}$, $S$ en ${\mathrm{m}}^2$, $C_x$ sans dimension : $k$ est en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$. Alors $k{v}^2$ est en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-2}=\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$, c'est-à-dire en newtons : le modèle est homogène. Bilan des forces : poids $mg$ vers le bas, frottement $k{v}^2$ vers le haut (la vitesse est vers le bas). La deuxième loi projetée sur $Oz$ : $$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=mg-k{v}^2.$$ Cette équation n'est pas linéaire ; elle n'est pas celle du cours (frottement linéaire). On ne la résout pas : on l'exploite.

b) Les échelles. Vitesse limite. En régime permanent, $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t=0$, donc $mg=k{v}_{\ell }^2$ : $$v_{\ell }=\sqrt{\frac{mg}{k}}.$$ Partant de $0$, $v$ croît vers $v_{\ell }$ sans l'atteindre (le second membre est positif et s'annule en $v_{\ell }$).

Échelles de temps et de longueur. Au départ, $v=0$ et l'accélération vaut $g$ ; si elle restait égale à $g$, la vitesse limite serait atteinte au bout de $\tau =v_{\ell }/g$, après une distance de l'ordre de $D=v_{\ell }^2/g$.

Adimensionnement. On pose $v=v_{\ell }u$ et $t=\tau x$. Alors $\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{v_{\ell }}{\tau }\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=g\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$, et en divisant l'équation par $mg=k{v}_{\ell }^2$ : $$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=1-u^2.$$ Cette équation ne contient aucun paramètre : toutes les chutes à frottement quadratique, de l'homme à la fourmi, sont la même courbe, à un changement d'échelle près. Le régime permanent est atteint au bout de quelques $\tau$, c'est-à-dire après quelques $D$.

c) Ordres de grandeur. On calcule $k=\frac{1}{2}\rho S$ (avec $C_x=1$), puis $v_{\ell }$, $\tau$, $D$ :

• homme : $k=0,42\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$, $v_{\ell }=\sqrt{80\times 9,81/0,42}\approx 43\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (environ $155\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$), $\tau \approx 4,4$ s, $D\approx 190$ m ;
• souris : $k=1,8\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$, $v_{\ell }\approx 10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\tau \approx 1,1$ s, $D\approx 11$ m ;
• fourmi : $k=6\times 10^{-6}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$, $v_{\ell }\approx 2,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $\tau \approx 0,3$ s, $D\approx 0,8$ m.

La vitesse limite de l'homme est celle des parachutistes en chute libre à plat ventre ($180$ à $200\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$). Surtout, un homme est encore loin de sa vitesse limite après une chute de dix étages ($30$ m, pour $D=190$ m), alors qu'une souris atteint la sienne en une dizaine de mètres : au-delà, la hauteur de chute n'a plus aucune importance.

d) La loi d'échelle. Pour des corps semblables de même masse volumique ${\rho }_c$, la masse est proportionnelle au volume, $m\propto {\rho }_c{L}^3$, et la section à une aire, $S\propto L^2$. Donc $$v_{\ell }=\sqrt{\frac{mg}{k}}\propto \sqrt{\frac{{\rho }_c{L}^{3}g}{\rho L^2}}\propto \sqrt{L}.$$ Les valeurs du c) le confirment à peu près : de l'homme ($L\approx 1,7$ m) à la souris ($L\approx 8$ cm), $L$ est divisé par une vingtaine, $\sqrt{L}$ par $4,6$, et $v_{\ell }$ par $4,1$.

Pour la survie, ce qui compte est la violence de l'arrêt. Une souris arrive au sol à $10\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ au plus, quelle que soit la profondeur du puits. Et la force par unité de section qu'il faut pour arrêter un corps de vitesse $v$ sur une distance de l'ordre de sa taille vaut environ $\frac{m{v}^2/L}{L^2}\propto {\rho }_c{v}^2$ : environ $(43/10{)}^2\approx 18$ fois moins pour la souris que pour l'homme. (Selon la boutade du biologiste J. B. S. Haldane, lâchée au fond d'un puits de mine, une souris « reçoit un léger choc et s'en va ».)

e) Le parachute. $v_{\ell }\propto 1/\sqrt{k}$ : multiplier $k$ par $25$ divise $v_{\ell }$ par $5$, d'où $56/5\approx 11\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, environ $40\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ — l'équivalent d'un saut de $6$ m sans frottement, ce que l'entraînement à la réception rend supportable.

Ce que l'exercice installe. Devant une équation qu'on ne résout pas, on en tire la vitesse limite, les échelles de temps et de longueur, et l'équation adimensionnée : c'est la capacité exigible du chapitre. Et l'analyse d'échelle ($v_{\ell }\propto \sqrt{L}$) explique en une ligne un fait biologique.