Du champ newtonien à la pesanteur uniforme

La stratégie. On exprime tout avec $g_0$ et $R$ grâce à $\mathcal{G}M=g_0{R}^2$, puis on compare les deux modèles par un développement limité en $z/R$.

1) Le développement. Avec $\mathcal{G}Mm=m{g}_0{R}^2$ : $$E_{\mathrm{p}}(z)-E_{\mathrm{p}}(0)=m{g}_0{R}^2\left(\frac{1}{R}-\frac{1}{R+z}\right)=m{g}_0{R}^2\cdot \frac{z}{R(R+z)}=\frac{m{g}_{0}z}{1+z/R}.$$ Le développement limité $(1+u{)}^{-1}=1-u+O(u^2)$, avec $u=z/R$, donne $$E_{\mathrm{p}}(z)-E_{\mathrm{p}}(0)=m{g}_{0}z\left(1-\frac{z}{R}+O\left(\frac{z^2}{R^2}\right)\right).$$ Le terme d'ordre 1 en $z/R$ — c'est-à-dire le premier terme non nul — est $m{g}_{0}z$ : l'énergie potentielle de pesanteur uniforme est la linéarisation de l'énergie potentielle newtonienne au voisinage du sol. L'erreur relative commise en la remplaçant par $m{g}_{0}z$ est $$\frac{m{g}_{0}z-\frac{m{g}_{0}z}{1+z/R}}{\frac{m{g}_{0}z}{1+z/R}}=\frac{z}{R}\text{(exactement)}.$$ Elle atteint $1\%$ pour $z=R/100\approx 64\mathrm{km}$. Pour un avion de ligne (une dizaine de kilomètres), le modèle uniforme est exact à $0,2\%$ près.

2) La hauteur atteinte. Seule la gravitation agit, et elle est conservative : l'énergie mécanique se conserve. Au sol, $v=v_0$ ; au sommet, $v=0$. Donc $$\frac{1}{2}m{v}_0^2=E_{\mathrm{p}}(h)-E_{\mathrm{p}}(0)=\frac{m{g}_{0}h}{1+h/R}⟹h_0=\frac{v_0^2}{2g_0}=\frac{Rh}{R+h}.$$ On inverse : $h_0(R+h)=Rh$, soit $h(R-h_0)=R{h}_0$, et, pour $h_0<R$, $$\boxed{h=\frac{R{h}_0}{R-h_0}}.$$ Homogénéité : une longueur au carré sur une longueur, c'est une longueur. Cas limite : si $h_0\ll R$, $h=h_0(1-h_0/R{)}^{-1}\simeq h_0(1+h_0/R)$ : on retrouve $h_0$ au premier ordre, et la correction est positive. Elle l'est physiquement : en altitude, l'attraction est plus faible que $m{g}_0$, le projectile est moins freiné, il monte plus haut.

3) La vitesse de libération. Quand $h_0\to R^{-}$, le dénominateur tend vers $0$ et $h\to +\infty$. La valeur $h_0=R$ correspond à $v_0^2=2g_{0}R$, soit $$\boxed{v_{\text{lib}}=\sqrt{2g_{0}R}=\sqrt{\frac{2\mathcal{G}M}{R}}\approx 11,2\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}}.$$ Au-delà, la vitesse ne s'annule jamais : le projectile s'éloigne indéfiniment. Lecture sur le graphe. $E_{\mathrm{p}}(z)=-\frac{m{g}_0{R}^2}{R+z}$ est croissante, de $-m{g}_{0}R$ au sol vers $0$ à l'infini, sans jamais l'atteindre. Si $E_{\mathrm{m}}<0$, la droite horizontale d'ordonnée $E_{\mathrm{m}}$ coupe la courbe en un point : il y a un point de rebroussement, le mouvement est borné, c'est un état lié. Si $E_{\mathrm{m}}\ge 0$, elle ne la coupe pas : la région accessible s'étend à l'infini, c'est un état de diffusion. La vitesse de libération est exactement celle qui donne $E_{\mathrm{m}}=0$ au sol : $\frac{1}{2}m{v}_{\text{lib}}^2-m{g}_{0}R=0$.

4) Ordres de grandeur.

L'écart relatif $(h-h_0)/h$ vaut exactement $h_0/R$ : $0,8\%$, puis $20\%$, $51\%$ et $80\%$. Le modèle uniforme est excellent tant que les altitudes restent petites devant $R$ ; il devient faux d'un facteur deux vers $8\mathrm{km}{\mathrm{s}}^{-1}$, l'ordre de grandeur des vitesses orbitales.

Ce que l'exercice installe. Un modèle simple est le premier terme d'un développement d'un modèle plus exact : on mesure sa validité par le petit paramètre ($z/R$ ici). Une énergie potentielle qui tend vers une limite finie à l'infini sépare états liés et états de diffusion, et la vitesse de libération est la vitesse qui donne l'énergie mécanique nulle. On retrouvera ces deux idées au chapitre sur les forces centrales.