L'arc et la flèche — exercice corrigé de mécanique (PCSI) (chapitre 3)

L'arc et la flèche

Approche énergétique du mouvement d'un point · niveau 2

Énoncé

Un archer tend son arc, modélisé par un ressort de raideur $k = 300 N / m$ , en l'étirant de $d = 0, 60 m$ . Au lâcher, toute l'énergie élastique est transmise à la flèche de masse $m = 25 g$ , qui part horizontalement.

Exprimer puis calculer l'énergie potentielle élastique $E_{p}^{ressort}$ emmagasinée.
En supposant la conversion intégrale en énergie cinétique, établir l'expression de la vitesse $v$ de la flèche, puis la calculer.
Comment varie la portée si l'archer tire plus fort (étirement $d$ plus grand) ? Justifier avec l'expression de $v$ .

Corrigé

1. L'arc tendu se comporte comme un ressort étiré de $d$ :

$E_{p}^{ressort} = \frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} \times 300 \times 0, 6 0^{2} = 54 J .$

2. Conversion intégrale en énergie cinétique : $\frac{1}{2} k d^{2} = \frac{1}{2} m v^{2}$ , d'où

$v = d \frac{k}{m} = 0, 60 \times \frac{300}{0 , 025} \approx 66 m / s (\approx 240 km / h) .$

3. $v = d k / m \propto d$ : la vitesse croît proportionnellement à l'étirement, et la portée (qui varie comme $v^{2}$ à angle fixé) croît comme $d^{2}$ . Doubler $d$ double $v$ et quadruple $E_{c}$ : un arc puissant et un grand débattement portent beaucoup plus loin.

Important

Ce que ça nous apprend. L'arc est un réservoir d'énergie élastique : le lent travail des bras ( $54 J$ ) devient une vitesse élevée, car la flèche, légère, encaisse toute l'énergie. La vitesse de lâcher $v = d k / m$ augmente avec la raideur, l'étirement, et la légèreté du projectile.