La puissance du cycliste

La stratégie. À vitesse constante, $E_{\mathrm{c}}$ ne varie pas : la somme des puissances est nulle. C'est une équation de bilan de puissance, dont la vitesse est l'inconnue.

1) Le bilan. Système : {cycliste et vélo}, assimilé à un point ; référentiel terrestre galiléen. Théorème de la puissance cinétique : $$\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}={\mathcal{P}}_c+{\mathcal{P}}_{\text{poids}}+{\mathcal{P}}_{\text{reˊaction normale}}+{\mathcal{P}}_{\text{roulement}}+{\mathcal{P}}_{\text{air}}.$$ On calcule chaque terme pour une montée à la vitesse $v$. Le poids $m\overrightarrow{g}$ fait l'angle $\frac{\pi }{2}+\alpha$ avec $\overrightarrow{v}$ : ${\mathcal{P}}_{\text{poids}}=-mgv\sin \alpha$ (résistant en montée, moteur en descente). La réaction normale est perpendiculaire à $\overrightarrow{v}$ : puissance nulle. Le roulement et l'air sont opposés à $\overrightarrow{v}$ : ${\mathcal{P}}_{\text{roulement}}=-C_{r}mg\cos \alpha v$ et ${\mathcal{P}}_{\text{air}}=-\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^3$, toutes deux résistantes. Comme $\frac{\mathrm{d}{E}_{\mathrm{c}}}{\mathrm{d}t}=0$ à vitesse constante, on obtient la relation annoncée. Homogénéité : $\rho S{C}_x{v}^3$ s'exprime en $\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-3}\cdot {\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-3}=\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-3}$, qui est bien un watt.

Le point délicat. Le vélo est propulsé grâce à des forces intérieures (les muscles), que le modèle du point matériel ne décrit pas : c'est pourquoi l'énoncé les remplace par une puissance ${\mathcal{P}}_c$ donnée — celle que mesurent les capteurs des cyclistes.

2) Sur le plat. Avec $\alpha =0$ : ${\mathcal{P}}_c=C_{r}mgv+\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^3$. Estimation. Si l'air domine, $v\simeq {\left(\frac{2{\mathcal{P}}_c}{\rho S{C}_x}\right)}^{1/3}={\left(\frac{500}{0,36}\right)}^{1/3}\approx 11,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, soit environ $40\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$. Résolution complète. La fonction $v\mapsto C_{r}mgv+\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^3$ est strictement croissante, donc l'équation a une unique solution, que l'on obtient par dichotomie : $$v\approx 10,6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 38\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}.$$ La puissance dissipée par l'air vaut alors $\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^3\approx 217\mathrm{W}$, soit environ $87\%$ de ${\mathcal{P}}_c$ ; le roulement n'en prend que $C_{r}mgv\approx 33\mathrm{W}$. Sur le plat, un cycliste lutte contre l'air, et c'est pourquoi il se recroqueville sur son guidon : diminuer $S{C}_x$ est le seul levier efficace.

Doubler la puissance. Dans le régime dominé par l'air, $v\propto {\mathcal{P}}_c^{1/3}$ : doubler la puissance ne multiplie la vitesse que par $2^{1/3}\approx 1,26$ (la résolution complète donne $49\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$ à $500\mathrm{W}$) ; aller $10\%$ plus vite coûte $33\%$ de puissance en plus.

3) En côte à $5^{\circ }$. L'équation devient $250=(mg\sin \alpha +C_{r}mg\cos \alpha )v+\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^3$, avec $mg\sin \alpha \approx 68,4\mathrm{N}$ et $C_{r}mg\cos \alpha \approx 3,1\mathrm{N}$. Sa solution est $$v\approx 3,4\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 12\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}.$$ La puissance qui sert à s'élever, $mgv\sin \alpha \approx 232\mathrm{W}$, en représente environ $93\%$ ; l'air ne prend plus que $3\%$. La vitesse ascensionnelle vaut $v\sin \alpha =|{\mathcal{P}}_{\text{poids}}|/(mg)$ : à puissance donnée, elle est inversement proportionnelle à la masse. Ce qui compte pour un grimpeur est donc le rapport puissance sur masse, exprimé en watts par kilogramme, et non l'aérodynamisme.

4) En descente. Sans pédaler, ${\mathcal{P}}_c=0$, et le poids devient moteur (${\mathcal{P}}_{\text{poids}}=+mgv\sin \alpha$). Le théorème de la puissance cinétique s'écrit $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{2}m{v}^2\right)=(mg\sin \alpha -C_{r}mg\cos \alpha )v-\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^3.$$ Pour $v>0$, le membre de droite est du signe de $mg\sin \alpha -C_{r}mg\cos \alpha -\frac{1}{2}\rho S{C}_x{v}^2$ : positif pour les faibles vitesses (le cycliste accélère), négatif au-delà de la valeur qui l'annule (il ralentit). La vitesse tend donc vers $$v_{\ell }=\sqrt{\frac{2mg(\sin \alpha -C_r\cos \alpha )}{\rho S{C}_x}}\approx 19\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 69\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}.$$ C'est l'ordre de grandeur observé dans une descente de col.

Ce que l'exercice installe. En régime permanent, le théorème de la puissance cinétique est une équation de bilan : la puissance fournie égale la puissance dissipée. Le caractère moteur ou résistant d'une force se lit sur le signe de sa puissance, et peut changer avec la situation (le poids). Une puissance en $v^3$ impose une vitesse en ${\mathcal{P}}^{1/3}$ : une loi d'échelle se lit sur le bilan avant tout calcul.