Le barrage hydroélectrique — exercice corrigé de mécanique (PCSI) (chapitre 3)

Le barrage hydroélectrique

Approche énergétique du mouvement d'un point · niveau 2

Énoncé

Un barrage retient un lac dont le niveau domine la centrale de $h = 120 m$ . Une conduite forcée amène l'eau jusqu'à une turbine avec un débit massique $m ˙ = 50000 kg / s$ (soit $50 m^{3} / s$ ). Le rendement global de conversion (turbine + alternateur) est $η = 0, 90$ . On prend $g = 9, 81 m / s^{2}$ .

Pour une masse $m$ d'eau qui descend de $h$ , exprimer la variation d'énergie potentielle de pesanteur $Δ E_{p}$ , puis l'énergie libérée.
En déduire la puissance hydraulique $P_{hyd}$ disponible en fonction de $m ˙$ , $g$ et $h$ . La calculer en $MW$ .
Calculer la puissance électrique $P_{e ˊ l}$ effectivement produite. À combien de foyers (consommation moyenne $1 kW$ ) cela correspond-il ?
En période de crue, on triple le débit. Comment varient $P_{hyd}$ et $P_{e ˊ l}$ (à rendement constant) ?

Corrigé

1. Une masse $m$ qui descend de $h$ voit son énergie potentielle varier de $Δ E_{p} = - m g h < 0$ . En l'absence de pertes et de vitesse d'arrivée notable, l'énergie libérée est $E = m g h$ .

2. La puissance hydraulique est cette énergie par unité de temps. Pour la masse $d m$ écoulée pendant $d t$ , $d E = (d m) g h$ , donc avec $m ˙ = d m / d t$ :

$P_{hyd} = m ˙ g h = 50000 \times 9, 81 \times 120 \approx 59 MW .$

3. La puissance électrique vaut $P_{e ˊ l} = η P_{hyd} = 0, 90 \times 59 \approx 53 MW$ . À $1 kW$ par foyer, cela alimente environ $53000$ foyers.

4. $P_{hyd} = m ˙ g h \propto m ˙$ : tripler le débit triple $P_{hyd}$ ( $\approx 177 MW$ ). À rendement constant, $P_{e ˊ l} = η P_{hyd}$ triple aussi ( $\approx 159 MW$ ).

Important

Ce que ça nous apprend. La puissance d'une centrale hydroélectrique est une énergie potentielle de pesanteur convertie en continu : $P = m ˙ g h$ . Hauteur de chute et débit sont les deux leviers ; le rendement, voisin de $90 %$ , traduit la faible part dissipée.