Le looping : hauteur minimale et six g au point bas

La stratégie. La réaction ne travaille pas : l'énergie donne la vitesse, mais ne dit rien de la réaction. Celle-ci se lit sur la projection normale de la loi de Newton, où intervient $v^2/R$. C'est la combinaison des deux qui conclut.

1) La vitesse. Système : le wagonnet ; référentiel terrestre supposé galiléen. Forces : le poids, conservatif, d'énergie potentielle $mgz$ ; la réaction $\overrightarrow{N}$ de la piste, normale à la piste (pas de frottement), donc perpendiculaire à $\overrightarrow{v}$ : elle ne travaille pas. L'énergie mécanique se conserve. Avec l'origine des altitudes en $B$, l'altitude d'un point de la boucle est $z=R-R\cos \theta =R(1-\cos \theta )$, et l'on a, entre $A$ (vitesse nulle, altitude $h$) et $M$ : $$\frac{1}{2}m{v}^2+mgR(1-\cos \theta )=mgh⟹v^2=2g(h-R+R\cos \theta ).$$

2) La réaction. Le mouvement dans la boucle est circulaire de rayon $R$ : l'accélération a une composante normale (dirigée de $M$ vers le centre $C$) égale à $v^2/R$. On projette $m\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}$ sur le vecteur unitaire $\overrightarrow{n}$ dirigé de $M$ vers $C$. La réaction, pour un parcours par l'intérieur, est dirigée vers le centre : $\overrightarrow{N}=N\overrightarrow{n}$ avec $N\ge 0$ tant qu'il y a contact. Le poids a pour composante sur $\overrightarrow{n}$ la valeur $-mg\cos \theta$ : au point bas ($\theta =0$) il est dirigé à l'opposé du centre, au sommet ($\theta =\pi$) il pointe vers le centre. D'où $$m\frac{v^2}{R}=N-mg\cos \theta ⟹N=m\frac{v^2}{R}+mg\cos \theta =mg\left(\frac{2h}{R}-2+3\cos \theta \right).$$ Vérification. Au point bas, $N=mg+m{v}_B^2/R$ : la piste porte le poids et fournit l'accélération centripète ; au sommet, $N=m{v}^2/R-mg$ : le poids en fournit une partie.

3) La hauteur minimale. $N(\theta )$ est une fonction décroissante de $\theta$ sur $[0,\pi ]$, puisque $\cos$ l'est : son minimum est au sommet, où $N(\pi )=mg\left(\frac{2h}{R}-5\right)$. Le contact est maintenu sur toute la boucle si et seulement si $N(\pi )\ge 0$, c'est-à-dire $$\boxed{h\ge h_{\min }=\frac{5}{2}R}.$$ Le point délicat. La condition naïve « il faut que la vitesse au sommet soit positive », soit $h>2R$, est fausse : il ne suffit pas d'arriver au sommet, il faut y arriver assez vite : si $mg>m{v}^2/R$, le poids courbe la trajectoire plus que le cercle et le wagonnet tombe à l'intérieur de la boucle. La condition au sommet $N\ge 0$ s'écrit $v_{\text{sommet}}^2\ge gR$ : la vitesse au sommet doit valoir au moins $\sqrt{gR}$.

4) Le décollage pour $h=2R$. On a alors $N(\theta )=mg(2+3\cos \theta )$, qui s'annule pour $\cos {\theta }_d=-\frac{2}{3}$, soit ${\theta }_d\approx 131,8^{\circ }$, à l'altitude $z_d=R(1-\cos {\theta }_d)=\frac{5}{3}R$. À cet endroit, $v^2=2g(R+R\cos {\theta }_d)=\frac{2}{3}gR>0$ : le wagonnet n'est pas arrêté, il quitte la piste avec une vitesse non nulle, tangente au cercle. Ensuite, chute libre parabolique à travers la boucle : gardant une vitesse horizontale, il n'atteint jamais $z=2R$, bien que son énergie le lui permette sur le papier. L'énergie donne une condition nécessaire, pas suffisante.

5) Ordres de grandeur. Pour $h=\frac{5}{2}R$, au point bas : $N(0)=mg(5-2+3)=6mg$. Le passager est plaqué sur son siège avec six fois son poids. Pour $R=10\mathrm{m}$, $h=25\mathrm{m}$, $v_B=\sqrt{2gh}\approx 22\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ (environ $80\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}$) et $v_{\text{sommet}}=\sqrt{gR}\approx 9,9\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$. Ce résultat est indépendant de $R$ : tout looping circulaire franchi au plus juste impose six g au point bas. Et la réaction passe brutalement de $mg$ à $6mg$ à l'entrée du cercle. Les loopings réels ont donc une courbure qui croît progressivement (une clothoïde, en goutte d'eau renversée) : grand rayon en bas, où la vitesse est grande, petit rayon au sommet, où elle est faible.

Ce que l'exercice installe. L'énergie donne $v$ en fonction de la position ; la loi de Newton projetée sur la normale donne la réaction ; une condition de contact $N\ge 0$ se discute en combinant les deux. C'est le schéma de tous les problèmes de « décollage » : bille sur une sphère, pendule dont le fil se détend, voiture sur une bosse.