Le saut à l'élastique

La stratégie. Le mouvement est conservatif et à une dimension : tout se lit sur le graphe d'une énergie potentielle, définie par morceaux parce que l'élastique ne pousse pas quand il est détendu.

1) L'énergie potentielle. L'axe est descendant : le poids $mg$ est dirigé dans le sens des $z$ croissants, son énergie potentielle est $-mgz$ (elle décroît quand on descend). L'élastique ne travaille que s'il est tendu, c'est-à-dire pour $z\ge {\ell }_0$, avec un allongement $x=z-{\ell }_0$. Donc $$E_{\mathrm{p}}(z)=\{\begin{array}{ll}-mgz& \text{si }0\le z\le {\ell }_0,\\ -mgz+\frac{1}{2}k(z-{\ell }_0{)}^2& \text{si }z\ge {\ell }_0.\end{array}$$ Les deux expressions coïncident en $z={\ell }_0$ : $E_{\mathrm{p}}$ est continue, et même dérivable (le terme élastique a une dérivée nulle en ${\ell }_0$). L'allure : une droite décroissante jusqu'à ${\ell }_0$, prolongée par une parabole tournée vers le haut, dont le minimum est atteint où $E_{\mathrm{p}}^{\prime }(z)=-mg+k(z-{\ell }_0)=0$, soit $$z_e={\ell }_0+\frac{mg}{k}=15+8,58\approx 23,6\mathrm{m}.$$ C'est la position d'équilibre, stable ($E_{\mathrm{p}}^{\prime \prime }=k>0$) : celle où le sauteur finira par pendre, une fois les oscillations amorties.

2) Le point le plus bas. C'est un point de rebroussement : $E_{\mathrm{p}}(H)=E_{\mathrm{m}}=0$, ce qui s'écrit, avec $H={\ell }_0+x_m$, $$\frac{1}{2}k{x}_m^2-mg{x}_m-mg{\ell }_0=0.$$ La racine positive est $$x_m=\frac{mg+\sqrt{(mg{)}^2+2kmg{\ell }_0}}{k}\approx 26,8\mathrm{m},H\approx 41,8\mathrm{m}.$$ Le sauteur s'arrête à environ $13\mathrm{m}$ au-dessus de l'eau : le saut est sûr, avec une marge raisonnable.

3) La vitesse maximale. $E_{\mathrm{c}}=E_{\mathrm{m}}-E_{\mathrm{p}}=-E_{\mathrm{p}}$ est maximale là où $E_{\mathrm{p}}$ est minimale, c'est-à-dire à la position d'équilibre $z_e$, et non au moment où l'élastique se tend (la vitesse n'y vaut que $\sqrt{2g{\ell }_0}\approx 17,2\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$) : entre ${\ell }_0$ et $z_e$, la tension est encore inférieure au poids et le sauteur continue d'accélérer. On calcule $$\frac{1}{2}m{v}_{\max }^2=mg{z}_e-\frac{1}{2}k(\frac{mg}{k}{)}^2=mg{\ell }_0+\frac{(mg{)}^2}{2k},v_{\max }\approx 19,5\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\approx 70\mathrm{km}{\mathrm{h}}^{-1}.$$

4) L'accélération au point bas. En $z=H$, la loi de Newton projetée sur l'axe descendant donne $m\ddot{z}=mg-k{x}_m$, d'où $\ddot{z}=g-\frac{k{x}_m}{m}\approx 9,81-30,6=-20,8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2}$. L'accélération est dirigée vers le haut et vaut environ $2,1g$ : c'est le moment le plus intense du saut, quand le sauteur est « rattrapé ». La tension vaut alors $k{x}_m\approx 2,1\times 10^3\mathrm{N}$, environ trois fois le poids : c'est elle qui dimensionne l'élastique et le harnais.

5) La masse maximale. On impose $H=55\mathrm{m}$, soit $x_m=40\mathrm{m}$, dans l'équation du 2) : $mg({\ell }_0+x_m)=\frac{1}{2}k{x}_m^2$, d'où $$m_{\max }=\frac{k{x}_m^2}{2g({\ell }_0+x_m)}=\frac{80\times 1600}{2\times 9,81\times 55}\approx 119\mathrm{kg}.$$ La profondeur atteinte croît avec la masse : c'est pourquoi on pèse chaque sauteur et l'on choisit un élastique adapté.

Ce que l'exercice installe. Une énergie potentielle peut être définie par morceaux, selon que la liaison est active ou non ; sa continuité se vérifie. Sur son graphe, on lit les points de rebroussement (vitesse nulle), la position de vitesse maximale (minimum de $E_{\mathrm{p}}$, qui est la position d'équilibre) et le sens de l'accélération.